Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2`, siis graafikul `$y=x^2+3 vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Tüüpviga

Avaldis $f(x-c)$ nihutab paremale, mitte vasakule. See tundub esialgu vastupidine, sest muutus toimub sisendi sees.

Teine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev +2 nihutab üles:

$$f(x)+2.$$

Sisendi sees olev +2 nihutab vasakule:

$$f(x+2).$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et $2f(x)$ ja $f(2x)$ teevad sama asja. Esimene muudab $y$ väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.

Neljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks $(x-3)^2+5 nihkub nii paremale kui ka üles.

Viies tüüpviga on vaadata ainult valemit ja mitte kontrollida üht punkti. Punkti liikumine näitab kiiresti, kas nihe läks õiges suunas.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

1. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
2. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
3. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
2. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
3. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
4. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
5. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks, $y$ korrutub 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Tüüpviga

Eksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.

Teine tüüpviga on logaritmi aluse unustamine. $\log_2 8$ ja $\log_{10}8$ ei ole sama arv.

Kolmas tüüpviga on logaritmi vastuseks võtta arv, mille logaritmi arvutatakse. Näiteks $\log_2 8$ ei ole 8. Vastus on aste 3, sest $2^3=8$.

Neljas tüüpviga on logaritmi kasutada siis, kui otsitav ei ole astendajas. Võrrandis $3x=12$ ei ole vaja logaritmi; seal piisab jagamisest.

Viies tüüpviga on võtta logaritm nullist või negatiivsest arvust. Reaalarvude hulgas $\log_a b$ on defineeritud ainult siis, kui $b>0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

1. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
2. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
3. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

1. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
2. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
3. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
4. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

• kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
• kui $0

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Tüüpviga

Logaritm ei jaotu summa üle:

Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.

Kolmas tüüpviga on jätta kahaneva aluse korral võrratuse märk pööramata. Enne võrratuse lahendamist otsusta alati, kas alus on suurem kui 1 või arvude 0 ja 1 vahel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

1. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
2. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
3. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda $2^x>8$.
2. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
3. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.

Vastused

1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
8. $x\ge3$, sest alus $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$

See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.

Põhiseosed

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Radiaanides on täisring $2\pi$, seega

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

Tangensi periood on lühem:

$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$

ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.

Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.

Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.

Märgid veerandites

Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.

Väärtused, mida tasub tunda

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kui $x=45^\circ$, siis

$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.

Tüüpviga

Kraadid ja radiaanid on eri mõõtühikud. Arvutis või kalkulaatoris tuleb kontrollida, kumb režiim on kasutusel.

Teine tüüpviga on unustada märk. Näiteks $\sin30^\circ$ ja $\sin150^\circ$ on mõlemad positiivsed, aga $\cos30^\circ$ ja $\cos150^\circ$ on eri märgiga.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $\tan90^\circ$ on väga suur arv. Tegelikult pole see defineeritud, sest

$$\tan90^\circ=\frac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\frac{1}{0},$$

ja nulliga jagada ei saa.

Neljas tüüpviga on unustada, et perioodilisus annab sama väärtuse mitme nurga korral. Näiteks $\sin30^\circ=\sin150^\circ$, aga nurgad on erinevad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

1. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
2. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
3. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

1. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
2. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
3. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Vastused

1. $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt (1;0).
2. $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
3. Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
4. $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
5. Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
6. $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
7. Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
8. $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
9. Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku [-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõt, mis põhineb kaare pikkusel. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.

Seega

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Ühikringil tähendab $1$ radiaan ligikaudu sellist nurka, millele vastava kaare pikkus on sama suur kui ringi raadius.

Üldiselt on radiaanides nurk kaare pikkuse ja raadiuse suhe.

See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.

Enne arvutamist kontrolli, kas nurk on kraadides või radiaanides; sama arv võib neis kahes mõõdus tähendada täiesti erinevat pööret.

Kraadide ja radiaanide teisendamise põhiseos on

$$180^\circ=\pi\text{ rad}.$$

Kui nurk on radiaanides, siis kaare pikkus on

$$s=r\alpha,$$

kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.

See on radiaani eelis: nurk ja kaare pikkus seotakse otse sama ringi raadiusega.

Seega:

$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$

$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$

Teisendustabel

Perioodilisus

Siinus ja koosinus korduvad perioodiga $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$

$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$

See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.

Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.

Tangens kordub perioodiga $\pi$:

$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$

Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:

$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Perioodilisuse tõttu

$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$

näiteks

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.

Tüüpviga

Kui kalkulaator on radiaanides, siis sin(30) ei tähenda $\sin 30^\circ$.

Radiaanides on 30 väga suur nurk, mitte $30^\circ$. Kui ülesandes on kraadid, kirjuta kraadimärk või teisenda nurk enne radiaanideks.

Teine tüüpviga on segada perioodi ja amplituudi. Periood ütleb, kui pika $x$-sammu järel graafik kordub; amplituud ütleb, kui kõrgele või madalale graafik läheb.

Kolmas tüüpviga on kasutada valemit $s=r\alpha$ kraadidega. See valem töötab otse ainult siis, kui $\alpha$ on radiaanides.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni periood?

Rakendus

1. Ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
2. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
3. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

1. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
2. Kas $\cos(60^\circ)$ ja $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ tähendavad sama nurka?
3. Kaks ratast raadiustega 5 ja 10 pöörduvad mõlemad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Vastused

1. $180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.
2. $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
3. $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
4. $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
5. $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
6. $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
7. Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
8. Jah, sest $60^\circ=\frac{\pi}{3}$; see on sama nurk eri ühikus.
9. Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid töötavad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.

Trigonomeetrilised valemid

Mõiste

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

Eeldus: oskad ühikringilt lugeda siinuse ja koosinuse märki ning tead radiaani ja kraadi seost.

Negatiivse nurga valemid on

Summa ja vahe valemid:

Kui $\alpha=\beta$, saadakse kahekordse nurga valemid:

Taandamisvalemite mõte pole eraldi tabeli päheõppimine. Leia ühikringilt võrdlusnurk, otsusta veerandi järgi märk ning vaata, kas koordinaadi roll jääb samaks või vahetub.

Näide

Leiame $\sin75^\circ$:

Seega

Kui $\sin\alpha=\frac35$ ja $\alpha$ on teravnurk, siis $\cos\alpha=\frac45$. Järelikult

Tüüpviga

Koosinuse summa valemis on keskmine märk vastupidine:

Teine tüüpviga on kirjutada $\sin2x=2\sin x$. Tegelikult on $\sin2x=2\sin x\cos x$.

Kolmas tüüpviga on võtta ruutjuurest automaatselt positiivne koosinus. Seosest $\cos^2x=1-\sin^2x$ saadakse märgi valik veerandi järgi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $\sin(-x)$.
2. Kirjuta lahti $\sin(\alpha+\beta)$.
3. Kirjuta $\cos2x$ ainult $\cos x$ kaudu.

Rakendus

1. Ühikringi punkt vastab nurgale $75^\circ$. Leia punkti $x$-koordinaat täpselt.
2. Kui $\sin\alpha=\frac5{13}$ ja $\alpha$ on teravnurk, leia $\sin2\alpha$.
3. Lihtsusta $\sin^2x+\cos^2x+\cos2x$ ainult koosinuse kaudu.

Mõtlemisülesanne

1. Põhjenda valemi abil, miks $\sin(90^\circ-x)=\cos x$.
2. Leia täpselt $\sin15^\circ$.
3. Lahenda $\cos2x=0$ vahemikus $0\le x<\pi$ ning kontrolli mõlemat lahendit algvõrrandis.

Vastused

1. $-\sin x$, sest siinus on paaritu funktsioon.
2. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
3. $\cos2x=2\cos^2x-1$.
4. $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$; summa valemis lahutatakse siinuste korrutis.
5. $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ ja $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
6. $1+\cos2x=2\cos^2x$.
7. Kasuta vahe valemit ja väärtusi $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$.
8. $\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, kasutades vahet $45^\circ-30^\circ$.
9. $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega vahemikus sobivad $x=\frac\pi4$ ja $x=\frac{3\pi}{4}$. Mõlemal juhul on $2x$ paaritu arvu $\frac\pi2$ kordne ning koosinus on 0.

Seosed

Valemid annavad tööriistad trigonomeetriliste põhivõrrandite teisendamiseks ning aitavad üldise kolmnurga ja perioodiliste mudelite seoseid põhjendada.

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Mõiste

Need teoreemid aitavad lahendada ka mittetäisnurkseid kolmnurki.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat, Pythagorase teoreemi ja kolmnurga nurkade summat.

Tähistame kolmnurgas nurgad suurte tähtedega ja nende vastasküljed väikeste tähtedega:

Tähised $a,b,c$ käivad vastasnurkade $A,B,C$ järgi, mitte selle järgi, kus külg joonisel paistab.

Enne valemit kontrolli jooniselt: sama täht peab olema külje ja selle vastasnurga paaris.

Siinusteoreem

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Siinusteoreem sobib hästi siis, kui tead ühte vastaskülje ja vastasnurga paari. Näiteks tead $a$ ja $A$, ning lisaks veel ühte nurka või külge.

Koosinusteoreem

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Kui $C=90^\circ$, siis $\cos C=0$ ja saame Pythagorase teoreemi.

Sama valemit saab kirjutada iga külje jaoks:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Koosinusteoreem sobib siis, kui tead kahte külge ja nende vahelist nurka, või kui tead kõiki kolme külge ja tahad leida nurka.

Millal kumba kasutada?

Alusta jooniselt: märgi teadaolevad küljed ja nurgad ning otsi, kas sul on vastasnurgapaar või kahe külje vaheline nurk.

Näide

Külg koosinusteoreemiga

Kui $a=7$, $b=9$ ja nurk nende vahel on $60^\circ$, siis

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ.$$

Kuna $\cos60^\circ=\frac12$, siis

$$c^2=49+81-126\cdot\frac12=67,$$

seega

$$c=\sqrt{67}\approx8{,}2.$$

Külg siinusteoreemiga

Olgu $A=40^\circ$, $B=70^\circ$ ja $a=6$. Leia $b$.

Siinusteoreemist:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$

Asendame:

$$\frac6{\sin40^\circ}=\frac b{\sin70^\circ}.$$

Seega

$$b=\frac{6\sin70^\circ}{\sin40^\circ}\approx8{,}8.$$

Nurk koosinusteoreemiga

Olgu $a=5$, $b=7$ ja $c=8$. Leia nurk $C$.

Kasutame valemit

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Asendame:

$$8^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos C.$$

$$64=74-70\cos C.$$

$$70\cos C=10,$$

$$\cos C=\frac17.$$

Seega

$$C=\arccos\frac17\approx81{,}8^\circ.$$

Vastus: koosinusteoreemiga saad $c=\sqrt{67}\approx8,2$ ja $C\approx81,8^\circ$; siinusteoreemiga $b\approx8,8$.

Tüüpviga

Koosinusteoreemis peab nurk olema nende kahe külje vahel, mida valemis kasutatakse.

Siinusteoreemis peab külg ja siinus olema vastavuses: $a$ käib nurgaga $A$, $b$ nurgaga $B$, $c$ nurgaga $C$.

Ettevaatust kahe võimaliku kolmnurga juhuga: kui tead kahte külge ja ühe mittevahelise nurga, võib siinusteoreem anda kaks võimalikku kolmnurka. Kontrolli, kas ülesanne küsib üht kindlat lahendit või kõiki võimalusi.

Veel üks tüüpviga on kasutada kohe üldist teoreemi, kuigi kolmnurk on täisnurkne. Täisnurkses kolmnurgas on Pythagoras ja $\sin,\cos,\tan$ sageli lühem tee.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

1. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
2. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

1. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
2. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
3. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
4. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?

Vastused

1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.
2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, kus nurk $A$ on külje $a$ vastas.
3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks $a,A,B$.
4. Koosinusteoreem, sest teada on $a=4$, $b=6$ ja nende vaheline nurk $C=60^\circ$: $c^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos60^\circ=28$, seega $c=2\sqrt7\approx5{,}3$ m.
5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar $a=5$, $A=30^\circ$ ja nurk $B=80^\circ$: $\frac{b}{\sin80^\circ}=\frac{5}{\sin30^\circ}$, seega $b=\frac{5\sin80^\circ}{\sin30^\circ}\approx9{,}8$.
6. Jah, sest $5^2=3^2+4^2$; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk $90^\circ$.
7. Suurim on $C$, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist $\cos C=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac17$, seega $C\approx81{,}8^\circ$.
8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge $a,b$ ja nende vaheline nurk $C$.
9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar $a,A$ ning otsitakse paarilist $b,B$.

Seosed

Siinusteoreem ja koosinusteoreem laiendavad täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat üldistele kolmnurkadele. Järgmine radiaanide ja perioodilisuse peatükk viib nurgad funktsioonide ja ringliikumise keelde.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Eeldus: oskad kasutada ühikringi, radiaane, trigonomeetrilisi valemeid ning lahendada lihtsat algebralist võrrandit.

Põhikujud:

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Näiteks

annab

Tangensi periood on $\pi$:

Kui ülesanne nõuab lahendeid kindlas vahemikus, kirjutatakse üldlahendist välja ainult sinna jäävad väärtused.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

Esmalt eraldame siinuse:

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

Võrrand

annab $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega

Tüüpviga

Üks kalkulaatori vastus ei ole tavaliselt kõik lahendid. Näiteks $\arcsin\frac12=\frac\pi6$, kuid samas täispöördes sobib ka $\frac{5\pi}{6}$.

Teine tüüpviga on lisada siinusele ja koosinusele periood $\pi$. Nende periood on $2\pi$; ainult tangensi periood on $\pi$.

Kolmas tüüpviga on unustada sisemine kordaja. Võrrandis $\sin2x=0$ lahendatakse esmalt $2x=k\pi$ ja alles siis jagatakse kahega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\sin x=0$.
2. Lahenda $\tan x=1$.
3. Kas võrrandil $\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?

Rakendus

1. Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\le x<2\pi$.
2. Lahenda $3\sin x+3=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.
3. Lahenda $\sin2x=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Mõtlemisülesanne

1. Lahenda $2\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\le x<2\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.
2. Miks annab võrrand $\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\sin x=1$ ainult ühe?
3. Lahenda võrratus $\sin x>0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Vastused

1. $x=k\pi$, sest siinus on null iga poolpöörde järel.
2. $x=\frac\pi4+k\pi$, sest tangensi periood on $\pi$.
3. Ei, sest koosinuse väärtused jäävad vahemikku $[-1;1]$.
4. $x=\frac{3\pi}{4}$ või $x=\frac{5\pi}{4}$; koosinus on negatiivne II ja III veerandis.
5. $\sin x=-1$, seega $x=\frac{3\pi}{2}$.
6. $x=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$; sisemine nurk $2x$ peab olema $k\pi$.
7. $\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, seega $x=\frac\pi4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$. Iga väärtuse korral on $\cos^2x=\frac12$ ja algvõrrandi vasak pool on 0.
8. Horisontaaljoon $y=0{,}3$ lõikab siinusgraafikut tõusvas ja langevas osas; maksimumtaset $y=1$ puudutab graafik ühe korra.
9. $0

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.

Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Eeldus: oskad kasutada lineaar- ja eksponentseoseid, astmeid ning lihtsaid summavalemeid.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Jada võib esitada:

• liikmete loendina;
• üldliikme valemina, näiteks $a_n=2n+1$;
• rekursiivselt, näiteks $a_{n+1}=a_n+4$.

Üldliikme valem annab $n$-nda liikme otse; rekursiivne valem vajab eelmist liiget.

Aritmeetilise ja geomeetrilise jada võrdlus

Aritmeetiline jada

Iga järgmine liige saadakse sama arvu liitmisel:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Siin $d$ on jada vahe.

Aritmeetilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n).$$

Geomeetriline jada

Iga järgmine liige saadakse sama teguriga korrutamisel:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

Siin $q$ on jada tegur ehk jagatis.

Kui $q\ne1$, siis geomeetrilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Kui $|q|<1$, lähenevad geomeetrilise jada liikmed nullile. Sellise jada piirväärtus ja lõpmatu summa on järgmise peatüki teema.

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese 10 liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada

$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ldots$$

on geomeetriline, sest iga järgmine liige saadakse 2-ga korrutades. Siin $a_1=5$ ja $q=2$, seega

$$a_n=5\cdot2^{n-1}.$$

Kuues liige on

$$a_6=5\cdot2^5=160.$$

Vastus: aritmeetilise jada kümnes liige on 39 ja summa 210; geomeetrilise jada kuues liige on 160.

Tüüpviga

Aritmeetilises jadas liidetakse sama arv. Geomeetrilises jadas korrutatakse sama teguriga.

Teine tüüpviga on kasutada valemis $n$ asemel liikme väärtust. $a_n$ on $n$-nda liikme väärtus, aga $n$ ise on järjekorranumber.

Kolmas tüüpviga on unustada, et geomeetrilise jada tegur võib olla ka murd või negatiivne arv. Näiteks

$$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ldots$$

on geomeetriline jada teguriga $q=\frac12$.

Neljas tüüpviga on arvata, et geomeetrilise jada tegur peab olema positiivne. Negatiivse teguri korral vahelduvad liikmete märgid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

1. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
2. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
3. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
2. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
3. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Vastused

1. $d=5$, sest järjestikuste liikmete vahe on 5.
2. $a_n=4+(n-1)5=5n-1$, sest esimene liige on 4 ja iga samm lisab 5.
3. `$a_{20}=99$, sest $a_{20}=5\cdot20-1$; siin $20$ on järjekorranumber.
4. Geomeetriline jada teguriga $q=2$, sest paksuste jagatis on püsiv.
5. $A(n)=1000\cdot1{,}05^n$, sest iga aasta korrutatakse summa teguriga 1,05.
6. $h_4=2\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{32}\approx0{,}84$ m; esimese ja neljanda põrke vahel on kolm tegurit.
7. Siin $a_1=1$, $a_n=28$, $d=3$, liikmeid on 10; `$S_{10}=145$, sest $S_{10}=\frac{10}{2}(1+28)$.
8. $a_5=8\left(-\frac12\right)^4=\frac12$ ja $S_5=8-4+2-1+\frac12=5{,}5$; negatiivne tegur vahetab märki.
9. Kuusummade vahe on alati 20 eurot, seega on jada aritmeetiline. $a_{12}=320$ ja $S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=2520$ eurot.

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Eeldus: oskad kasutada jada üldliiget ning aritmeetilise ja geomeetrilise jada valemeid.

Piirväärtus ei pea olema ükski jada liige. Näiteks

annab liikmed $1,\frac12,\frac13,\ldots$, mis lähenevad nullile:

Kui $|q|<1$, siis $q^n\to0$. Selle tõttu saab hääbuva geomeetrilise jada kõik liikmed kokku liita:

Osasummad $S_n$ lähenevad sellele arvule; lõpmatu summa tähendab osasummade piirväärtust, mitte lõpmata paljude tehete käsitsi lõpetamist.

Arv

tekib pideva kasvamise loomuliku piirina. Arvu $\pi$ võib mõista ringi ümber- ja sissejoonestatud korrapäraste hulknurkade ümbermõõtude ühise piirväärtuse kaudu.

Näide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

korral on $a_1=6$ ja $q=\frac12$. Seega

Tüüpviga

Piirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.

Teine tüüpviga on kasutada lõpmatu summa valemit, kui $|q|\ge1$. Siis geomeetrilise jada liikmed ei lähene nullile ja osasummad ei lähene lõplikule arvule.

Kolmas tüüpviga on arvata, et piirväärtuseni peab jõudma. Jada $\frac1n$ ei võrdu kunagi nulliga, kuid selle piirväärtus on 0.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

1. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
2. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
3. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

1. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
3. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Vastused

1. $0$, sest püsiv lugeja jagatakse järjest suurema nimetajaga.
2. $4$, sest liige $\frac2n$ läheneb nullile.
3. Ei; liikmed kasvavad piiramatult.
4. $16$, sest $a_1=8$, $q=\frac12$ ja $S=\frac8{1-\frac12}$.
5. $\frac94$, sest $a_1=3$ ja $q=-\frac13$.
6. $\frac3{1-\frac35}=7{,}5$ meetrit tõusu; esimene tõus on $5\cdot\frac35=3$ m.
7. Ainult siis läheneb $q^n$ nullile ja osasummad saavad läheneda lõplikule arvule.
8. Piirväärtus on $2$, sest lugeja ja nimetaja $n$-ga jagamisel jääb piirile $\frac{2-0}{1+0}$. Lisaks $a_{10}=1$ ja $a_{100}=\frac{193}{103}\approx1{,}87$, seega liikmed lähenevad arvule 2 altpoolt.
9. Iga lõplik lähend on ebatäpne, kuid lähendite viga saab sammude arvu kasvades muutuda kuitahes väikeseks.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.

Finantsmatemaatika

Mõiste

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Eeldus: oskad protsenti kümnendmurruks muuta, astmeid kasutada ja ligikaudset suurusjärku hinnata.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Lihtintress

$$A=P(1+rt),$$

kus $P$ on algsumma, $r$ intressimäär aastas ja $t$ aeg aastates.

Lihtintressi korral arvutatakse intress ainult algsummalt.

Liitintress

$$A=P(1+r)^t.$$

Liitintressi korral lisandub intress juba kasvanud summale. Seetõttu kasvab summa aja jooksul kiiremini.

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Inflatsioon

Inflatsioon tähendab, et hinnatase tõuseb ja sama rahasumma ostujõud väheneb.

Kui aastane inflatsioonimäär on $i$, siis hinna ligikaudne kasv $t$ aasta jooksul on

$$H=H_0(1+i)^t.$$

Kui kaup maksab praegu 100 eurot ja inflatsioon on 4% aastas, siis 3 aasta pärast on sama kauba hinnanguline hind

$$100\cdot1,04^3\approx112,49.$$

See tähendab, et 100 euro ostujõud on väiksem kui varem.

Laenumakse

Laenumakse sõltub laenusummast, intressist ja tagasimakse ajast. Täpne annuiteetmakse valem on

$$M=P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},$$

kus:

• $P$ on laenusumma;
• $i$ on perioodi intressimäär;
• $n$ on maksete arv;
• $M$ on ühe perioodi makse.

Kui maksed on kuised, peab $i$ olema kuuintress ja $n$ kuude arv.

Kontrolli alati kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga ning lisada teenustasud.

Koolis on tihti kõige olulisem aru saada suurusjärgust: sama laenusumma ja sama aastaintressi korral vähendab pikem tagasimakse aeg kuumakset, kuid suurendab intressikulu kaudu kogukulu.

Näide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Vahe on väike kolme aasta jooksul, aga pikema aja jooksul kasvab liitintressi mõju tugevamaks.

Laenu lihtsustatud näide: kui laenad 1200 eurot ja maksad selle 12 kuuga tagasi ilma intressita, on kuumakse

$$\frac{1200}{12}=100\text{ eurot}.$$

Kui lisandub intress ja teenustasud, on tegelik kogukulu suurem kui 1200 eurot. Kogukulu tähendab kõigi maksete summat, mitte ainult algset laenusummat.

Vastus: liitintressiga on summa umbes 1157,63 eurot, lihtintressiga 1150 eurot ja intressita kuumakse 100 eurot.

Tüüpviga

5% ei ole arvutustes 5, vaid 0,05.

Teine tüüpviga on võrrelda ainult kuumakset. Väike kuumakse võib tähendada pikemat perioodi ja suuremat kogukulu.

Kolmas tüüpviga on inflatsiooni ignoreerida. Kui raha seisab ja hinnad tõusevad, võib sama summa eest tulevikus vähem osta.

Finantsülesannetes tuleb alati tähele panna, kas intressimäär on aasta, kuu või mõne muu perioodi kohta.

Neljas tüüpviga on ajada investeeringu tulevane väärtus ja ostujõud segi. Kui summa kasvab 5%, aga hinnad kasvavad samal ajal 5%, ei tähenda see suuremat ostujõudu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

1. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
2. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
3. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

1. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
2. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
3. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
4. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Vastused

1. $200\cdot0,12=24$ eurot.
2. $1000(1+0,04\cdot2)=1080$ eurot; siin on 4% aastaintress ja aeg 2 aastat.
3. Sest intress teenib järgmisel perioodil omakorda intressi.
4. $500\cdot1,03^4\approx562,75$ eurot.
5. $80\cdot1,05=84$ eurot.
6. $40\cdot12=480$ eurot ühe aastaga; siin on 12 kuumakset.
7. $600/6=100$ eurot kuus; kogukulu on endiselt 600 eurot, kui intressi ja teenustasusid ei lisandu.
8. Sest tähtis on ka tagasimakse aeg, intress, teenustasud ja kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga.
9. $120\cdot1,15=138$ eurot.
10. $18\cdot35=630$ eurot kogukulu enne intressi ja teenustasusid.

Seosed

Finantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.

Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Eeldus: oskad korrutada naturaalarve ning lugeda tõenäosuses soodsaid ja kõiki võimalusi.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Põhireeglid

Kui üks valik on võimalik $m$ viisil ja teine $n$ viisil, siis järjestikuseid valikuid on

$$m\cdot n.$$

See on korrutamisreegel.

Enne valemi valimist küsi:

Kui valitud objektidel on erinevad rollid või kohad, siis järjekord loeb. Kui moodustub samaväärsete liikmetega rühm, siis järjekord ei loe.

Vastandnäited:

Permutatsioonide arv:

$$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.$$

Variatsioonide arv, kui valitakse $k$ objekti $n$ objektist ja järjekord loeb:

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Kombinatsioonide arv:

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Näide

Kui valida 5 õpilase seast 2 esindajat, siis võimalusi on

$$\binom52=\frac{5!}{2!3!}=10.$$

Kui samast 5 õpilasest valitakse president ja asepresident, siis järjekord loeb:

$$V_5^2=5\cdot4=20.$$

Kui 4 inimest pannakse järjekorda, siis võimalusi on

$$4!=24.$$

Kui menüüs on 3 jooki ja 4 magustoitu, siis ühe joogi ja ühe magustoidu valikuid on

$$3\cdot4=12.$$

Sama 5 õpilase näide näitab, miks küsimus loeb:

• 2 esindajat: $\binom52=10$;
• esimees ja aseesimees: $5\cdot4=20$;
• kõik 5 õpilast järjekorras: $5!=120$.

Vastus: võimalusi on vastavalt 10, 20, 24, 12 ja 120.

Tüüpviga

Kui järjekord ei loe, ära kasuta permutatsioone. Paar Mari ja Jüri on sama paar mis Jüri ja Mari.

Kui rollid on erinevad, siis järjekord loeb. Paar "president Mari, asepresident Jüri" ei ole sama mis "president Jüri, asepresident Mari".

Teine tüüpviga on korduste lubamist märkamata jätta. Koodis võivad kordused olla lubatud või keelatud:

• kui kordused on lubatud, siis 3-kohalise koodi jaoks numbritest 1, 2, 3 on $3\cdot3\cdot3=27$ võimalust;
• kui kordused ei ole lubatud, siis võimalusi on $3\cdot2\cdot1=6$.

Kolmas tüüpviga on kasutada kombinatsiooni siis, kui kohtadel on tähendus. Kui auhinnad on kuld, hõbe ja pronks, siis järjekord loeb.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?
2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?
3. Mitu viisi saab valida 6 õpilase seast 3?
4. Mitu viisi saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?

Rakendus

1. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?
2. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?
3. Klassis on 8 õpilast. Mitu viisi saab valida 2-liikmelise tööpaari?

Mõtlemisülesanne

1. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?
2. Mitu viisi saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?
3. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.
4. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?

Vastused

1. $3\cdot3\cdot3=27$.
2. $4!=24$.
3. $\binom63=20$, sest 3-liikmelises rühmas järjekord ei loe.
4. $6\cdot5=30$, sest esimese koha jaoks on 6 ja teise jaoks 5 valikut.
5. $5\cdot3=15$.
6. $3\cdot2\cdot1=6$.
7. $\binom82=28$, sest tööpaaris rollid ei erine.
8. $8\cdot7=56$, sest esineja ja ajamõõtja on eri rollid.
9. $5!=120$.
10. Ei loe, kui kõigil kolmel on sama roll korraldustiimis; siis kasutatakse kombinatsiooni.
11. Kõiki järjekordi on $3!=6$; soodsaid on 2: 123 ja 132. Tõenäosus on $\frac26=\frac13$.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides liigub fookus loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.

Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus näitab, kas andmed on üksteise lähedal või laiali. Näiteks hinded 4, 4, 5 on koos, aga hinded 1, 4, 5 on rohkem laiali.

Keskmine vastab küsimusele “kus on tüüpiline tase?”, hajuvus vastab küsimusele “kui palju väärtused selle ümber kõiguvad?”.

Järelduses ütle alati, mida hajuvus tähendab: kas tulemused on ühtlased või sõltuvad palju inimesest, katsest või päevast.

Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad õiget rühma.

Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.

Olulised näitajad

• Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
• Kvartiilid jagavad järjestatud andmed neljaks osaks.
• Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.

Kvartiilide mõte:

Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni. See näitab keskmist poolt väärtustest. Mida pikem kast, seda rohkem on väärtused keskel laiali.

Standardhälbe täpne valem tuleb hiljem. Siin piisab mõttest: väike standardhälve tähendab, et väärtused on keskmise lähedal; suur standardhälve tähendab, et väärtused on rohkem laiali.

Gümnaasiumis vaadatakse ka jaotusi. Jaotus kirjeldab, millised väärtused on tõenäolised ja kui sageli need esinevad. Binoomjaotus sobib siis, kui kordub sama jah/ei-katse; normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.

Usaldusvahemik annab hinnangu, millisesse vahemikku üldkogumi tegelik keskmine mõistliku kindlusega jääb. See ei ole kindel lubadus, vaid valimi põhjal tehtud hinnang.

Näide

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Karpdiagrammi viis arvu on

$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$

Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.

Vastus: ulatus on 7, viis arvu on 2, 3, 7, 13 ja 17 ning teise võrdlusandmestiku hajuvus on suurem.

Tüüpviga

Keskmise teadmine üksi ei ütle, kas väärtused on keskmise lähedal või väga laiali.

Teine tüüpviga on kvartiile otsida enne andmete järjestamist. Kvartiilid ja mediaan leitakse järjestatud andmetest.

Kolmas tüüpviga on nimetada iga kellukakujulist pilti automaatselt normaaljaotuseks. Enne mudeli kasutamist tuleb küsida, kas andmete kuju ja olukord seda toetavad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

1. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
2. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

1. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 ligikaudsed $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
2. Leia sama andmestiku ulatus.
3. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
4. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
5. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?

Vastused

1. $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
3. Keskmine pool andmetest on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
4. $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
5. Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
6. $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
7. Siis, kui kordub sama kahe tulemusega katse, näiteks õnnestub või ei õnnestu.
8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on keskmine pool väärtustest rohkem hajunud.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Eeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.

Sündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:

Ühisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis

Üldisemalt

kus $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Bernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on

Sellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.

Korrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\le r\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.

Usaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Tüüpviga

Sõltumatust ei tohi eeldada ainult mugavuse pärast. Kaartide võtmisel ilma tagasipanekuta muutub teise sündmuse tõenäosus.

Teine tüüpviga on liita sündmuste tõenäosused ühisosa lahutamata. Valem $P(A)+P(B)$ sobib otse ainult välistavate sündmuste korral.

Kolmas tüüpviga on tõlgendada korrelatsiooni põhjusena või laiendada mugavusvalimi tulemus kogu elanikkonnale.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

1. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
2. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
3. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
2. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
3. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Vastused

1. $\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.
2. $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$.
3. Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.
4. $A=\{2,4,6\}$ ja $B=\{5,6\}$; ühend on $\{2,4,5,6\}$, seega $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.
5. $\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.
6. Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.
7. Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.
8. $E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.
9. Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.

XI klassi funktsioonist analüüsini sild

Mõiste

Analüüs uurib funktsioonide muutumist. Enne tuletist peab olema selge, et funktsioon võib kasvada, kahaneda, võnkuda või läheneda mingile väärtusele.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ning mõista keskmist muutust kahe punkti vahel.

Tuletis mõõdab hetkelist muutumise kiirust. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad. Integraal kirjeldab kogunenud suurust.

Sild on siin mõtteline: tabeli keskmisest muutusest liigutakse graafiku puutuja tõusuni. Küsimus "kui kiiresti muutub?" viib tuletiseni; küsimus "kui palju kogunes?" viib integraalini.

Näide

Funktsioon $s(t)=t^2$ võib kirjeldada teepikkust ajast sõltuvalt. Keskmine kiirus vahemikus 2 kuni 3 on

$$\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5.$$

Kui vahemik muutub väga väikeseks, jõuame hetkelise muutumise kiiruseni ehk tuletise mõtteni.

Funktsioonil $s(t)=t^2$ on tuletis

$$s'(t)=2t.$$

Hetkel $t=3$ on muutumise kiirus

$$s'(3)=6.$$

Tõlgendus: vahemikus 2 kuni 3 on keskmine kiirus 5, hetkel $t=3$ aga 6; graafiku alune pindala kirjeldab kogunenud teepikkust.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et tuletis on ainult uus valem. Tegelikult kirjeldab tuletis algse funktsiooni muutumise kiirust.

Teine tüüpviga on unustada, et trigonomeetriliste funktsioonide puhul korduvus mõjutab ka muutumist: sama väärtus võib eri kohtades liikuda üles või alla.

Kolmas tüüpviga on segada funktsiooni väärtus ja muutumise kiirus. $f(4)$ on kõrgus või kogus; $f'(4)$ ütleb, kui kiiresti see seal muutub.

Neljas tüüpviga on mõelda, et integraal tähendab ainult "tuletise vastandit". Rakenduses küsib integraal sageli kogusummat või pindala, mitte ainult algfunktsiooni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjelda sõnadega, mida tähendab "funktsioon kasvab".
2. Funktsioon $f(x)=2x+1$. Kui palju muutub $f$, kui $x$ suureneb 1 võrra?

Rakendus

1. Funktsioon $f(x)=x^2$. Leia keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3.
2. Kui $f'(4)=10$, mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=4$?

Mõtlemisülesanne

1. Miks on piirväärtuse mõte vajalik enne tuletist?
2. Too näide nähtusest, mis on perioodiline.
3. Funktsioon $h(t)=3t+2$, kus $h$ on funktsiooni nimi ja $t$ sisend. Mis vahe on väärtusel $h(5)$ ja tuletisel $h'(5)$?
4. Miks võib ruutfunktsiooni keskmine muutus eri vahemikes olla erinev?
5. Auto liigub 10 m/s 4 sekundit. Kuidas näeksid seda kiiruse graafiku aluse pindalana?

Vastused

1. Kui sisend suureneb, suureneb ka funktsiooni väärtus.
2. 2 võrra; lineaarfunktsiooni muutus on igal sammul sama.
3. $\frac{9-1}{3-1}=4$; see on keskmine muutus kahe punkti vahel.
4. Funktsiooni hetkeline muutumise kiirus punktis $x=4$ on 10.
5. Tuletis tekib väga väikese muutuse piiril.
6. Näiteks kellaaeg, aastaaeg või siinuse graafik.
7. $h(5)=17$ on funktsiooni väärtus; $h'(5)=3$ on muutumise kiirus.
8. Ruutfunktsioon ei kasva ühtlase sammuga; selle tõus sõltub asukohast.
9. Ristküliku pindala on $10\cdot4=40$, seega teepikkus on 40 m.

Klassi kordamine

Enne XII klassi liikumist kontrolli nelja vahet:

1. Funktsiooni väärtus ütleb, kui suur on kogus antud sisendi korral.
2. Keskmine muutus võrdleb kahte punkti.
3. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumist.
4. Graafiku alune pindala kirjeldab kogunenud suurust.

Segakontroll: olgu $s(t)=t^2+1$. Leia $s(3)$, keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3 ning tuletise $s'(t)=2t$ väärtus kohal $t=3$.

Vastus: $s(3)=10$; keskmine muutus on $\frac{10-2}{2}=4$; $s'(3)=6$.

Seosed

See sild ühendab funktsioonide graafikud analüüsi põhiküsimustega: muutumise kiirus, lähendamine ja kogunenud suurus. Järgmine XII klassi sild kasutab neid mõtteid modelleerimises ja tõestamises.

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ja mõista jadade lähenevust.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Piirväärtus on siin alusidee: selle abil kirjeldatakse nii väga väikese sammu tuletist kui ka väga paljude osade integraali.

Põhiideed

Piirväärtus vastab küsimusele: millele väärtused lähenevad?

See ei küsi alati funktsiooni väärtust selles punktis. Oluline on, mis juhtub punkti lähedal.

Näiteks jada

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots$$

liikmed lähenevad arvule 0. Nad ei muutu kunagi negatiivseks, aga jõuavad 0-le järjest lähemale.

Tuletis:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Seda võib lugeda nii: võta väga väike muutus $h$, vaata funktsiooni väärtuse muutust ja lase sammul järjest väiksemaks minna. Tulemuseks on hetkeline muutumiskiirus.

Määratud integraal:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Integraali võib mõelda kui väga paljude õhukeste ristkülikute pindalade summat. Kui ristkülikud teha järjest kitsamaks, muutub summa täpseks pindalaks graafiku all.

Kolm vaadet samale ideele

Kontrollküsimus: kas ülesanne räägib lähenemisest, ühest punktist või tervest vahemikust?

Kui küsitakse "kui kiiresti praegu?", mõtle tuletisele; kui küsitakse "kui palju kokku?", mõtle integraalile.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Kui auto kiirus on 20 m/s ja ta sõidab nii 5 sekundit, siis läbitud teepikkus on

$$20\cdot5=100\text{ m}.$$

Tõlgendus: tuletis annab hetkelise kiiruse 6; integraal liidab muutuva kiiruse korral väikesed teepikkuse osad.

Tüüpviga

Tuletis ei ole ainult “uus valem”. See tähendab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust.

Integraal ei ole ainult “tuletise vastand”. Määratud integraalil on oma tähendus: ta mõõdab kogunenud suurust vahemikus.

Piirväärtus ei tähenda, et väärtus sinna täpselt jõuab. Väärtused lähevad sellele arvule järjest lähemale; funktsiooni väärtus uuritavas punktis võib olla teistsugune või puududa.

Neljas tüüpviga on segada keskmine ja hetkeline muutumiskiirus. Keskmine muutus käib vahemiku kohta, tuletis ühe punkti kohta.

Teine seletusviis

Tuletist näe kiirusena ühel hetkel; integraali näe kogunenud summana. Graafikul on need puutuja tõus ja pindala.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

1. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
2. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis milline integraali idee siin lihtsal kujul töötab?

Mõtlemisülesanne

1. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
2. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
3. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Vastused

1. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad punkti lähedal või väga kaugel.
2. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumiskiirust ehk graafiku puutuja tõusu ühes punktis.
3. Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku all vahemikus.
4. Funktsiooni hetkeline muutumiskiirus punktis $x=3$ on 6; graafiku puutuja tõus on seal 6.
5. Kogunenud teepikkus on kiirus korda aeg: $12\cdot10=120$ m. See on integraali mõte püsiva kiiruse korral.
6. Puutuja tõus on 0; see võib olla maksimumi, miinimumi või horisontaalse puutuja koht.
7. Keskmine muutumiskiirus kirjeldab tervet vahemikku; tuletis kirjeldab muutumist ühes punktis.
8. $n$ kasvades saab $\frac1n$ nullile kuitahes lähedale; piirväärtus kirjeldab lähenemist, mitte väärtuse saavutamist.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.

Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis näitab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust. Arvutusreeglid aitavad tuletist leida ilma piirväärtuse definitsiooni iga kord uuesti kasutamata.

Eeldus: mõistad tuletist kui muutumiskiirust ning oskad lihtsustada astmete, sulgude ja murdavaldistega avaldisi.

Põhituletised

Konstant:

$$c'=0.$$

Astmefunktsioon:

$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$

Eriti:

$$(x)'=1,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (x^3)'=3x^2.$$

Summa ja kordaja

Kui funktsioonid on liidetud, tuletame liikmed eraldi:

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).$$

Kui funktsioon on korrutatud arvuga, jääb arv ette:

$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x).$$

Näiteks

$$(3x^2-5x+7)'=6x-5.$$

Kontrollmõte: tuletis võetakse iga liikme kohta eraldi. Konstant $7$ kaob, sest konstant ei muutu.

Korrutis, jagatis ja ahelreegel

Enne reegli valikut vaata avaldise välist kuju: kas peal on summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Korrutise reegel:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Näiteks kui

$$y=x^2(x+1),$$

siis

$$y'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Jagatise reegel:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

Näiteks

$$y=\frac{x^2+1}{x},$$

siis

$$y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Ahelreegel aitab siis, kui üks funktsioon on teise sees:

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Näiteks

$$(2x+1)^3{}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2.$$

Kontrollmõte: kui avaldises on “sulg astmes”, “juur sulust” või trigonomeetriline funktsioon mingist avaldisest, siis küsi endalt, kas seal on sisemine funktsioon.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=x^3-4x^2+2x-9$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa:

$$f'(x)=3x^2-8x+2.$$

Leia funktsiooni

$$g(x)=(x^2+3x)^4$$

tuletis.

Välimine funktsioon on neljas aste, sisemine funktsioon on $x^2+3x$. Ahelreegli järgi

$$g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3).$$

Vastus: $f'(x)=3x^2-8x+2$ ja $g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3)$.

Tüüpviga

Avaldist $(x^2+1)^3$ ei tohi tuletada sama reegliga nagu $x^3$. Sulgudes olev sisemine funktsioon vajab ahelreeglit.

Teine tüüpviga on korrutise tuletamisel tuletada ainult üht tegurit:

$$(x^2\sin x)'\ne 2x\cos x.$$

Õige mõte on

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Kolmas tüüpviga on jagatise reeglis liikmete järjekord vahetada. Valemis on lugejas

$$f'g-fg',$$

mitte $fg'-f'g$.

Neljas tüüpviga on tuletis leida, aga mitte küsida, mida see tähendab. Rakendustes tuleb sageli uurida tuletise märki või väärtust.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Tuletis on graafikul puutuja tõus, arvuliselt hetkeline muutus ja algebraliselt funktsioon $f'(x)$.

Kui jäid kinni

Korda astmete lihtsustamist ja tuletise põhitähendust: tuletis näitab muutumiskiirust. Vaata näitest, kuidas liikmed tuletatakse eraldi ja millal ahelreegel lisab sisemise tuletise. Alusta harjutustest 1-3; korrutise ja jagatise reeglid jäta järgmiseks sammuks.

Harjutused

Kitsas fookus: vali õige tuletamisreegel ja arvuta puhtalt. Lai fookus: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'.
2. Leia $(x^4+2x^2)'.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

1. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
2. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
3. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $((x^2+1)^5)'.
2. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
3. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Vastused

1. $10x-3$, sest astmereegel annab $(5x^2)'=10x, (-3x)'=-3 ja konstant kaob.
2. $4x^3+4x$, sest summa tuletatakse liikmete kaupa.
3. $6(3x-2)$, sest ahelreeglis väline tuletis on $2(3x-2)$ ja sisemine tuletis 3.
4. Ahelreeglit on vaja siis, kui funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks sulg astmes.
5. $s'(t)=3t^2+10t$, seega $s'(2)=32$ m/s. Tuletis annab asukoha hetkekiiruse.
6. $C'(t)=\frac{2t(t+1)-t^2}{(t+1)^2}=\frac{t^2+2t}{(t+1)^2}$, seega $C'(1)=\frac34$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Lahenduskäik: ahelreegel annab välise tuletise $5(x^2+1)^4$ ja sisemise tuletise $2x$, seega $10x(x^2+1)^4$.
8. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis 2. Õige vastus on $4\cdot3(2x-1)^2\cdot2=24(2x-1)^2$.
9. Kandidaadid on $x=-2$ ja $x=2$. Tuletis muutub kohal -2 plussist miinuseks, seega seal on maksimum; kohal 2 miinusest plussiks, seega seal on miinimum.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad tööriista, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.

Matemaatiline induktsioon

Mõiste

Matemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust $n$.

Eeldus: oskad lugeda väiteid kujul $P(n)$, teha algebralisi teisendusi ja kasutada jadade summasid.

Intuitsioon on nagu doominorida:

• esimene doomino kukub;
• iga doomino lükkab järgmise ümber.

Kui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:

• väide kehtib esimese $n$ väärtuse jaoks;
• kui väide kehtib mingi $n$ jaoks, siis kehtib see ka $n+1$ jaoks.

Skeem

1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.
2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib $n$ korral, ja tõesta, et siis kehtib see $n+1$ korral.

Induktsioonisammus ei tõestata väidet uuesti nullist. Seal kasutatakse induktsioonieeldust.

Kui väidet tähistada $P(n)$, siis tõestuse kuju on:

$$P(1)\quad\text{ja}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1).$$

Kontrolli lõpus kolme asja: kas baassamm on olemas, kas induktsioonieeldus on selgelt öeldud ja kas $P(n+1)$ tõestamisel seda eeldust kasutati.

Kui mõni neist puudub, ei ole väidete ahel veel katkematu.

Näide

Väide:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Baassamm $n=1$:

$$1=\frac{1\cdot2}{2}.$$

Baassamm kehtib.

Induktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu $n$ korral kehtib

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Tahame tõestada, et siis kehtib väide ka $n+1$ korral:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

Alustame vasakust poolest ja kasutame induktsioonieeldust:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1).$$

Viime ühise nimetaja alla:

$$\frac{n(n+1)}2+\frac{2(n+1)}2.$$

Võtame $(n+1)$ sulgude ette:

$$\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

See on täpselt see, mida pidime tõestama. Seega kehtib valem kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Tõlgendus: baassamm alustab ahela ja induktsioonisamm kannab tõestuse igalt $n$-lt järgmisele.

Veel üks lihtne näide

Tõesta, et

$$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1).$$

Baassamm $n=1$:

$$2=1\cdot2.$$

Induktsioonieeldus:

$$2+4+\cdots+2n=n(n+1).$$

Lisame järgmise liikme $2(n+1)$:

$$2+4+\cdots+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1).$$

Võtame $(n+1)$ ette:

$$(n+1)(n+2).$$

See on sama valem $n+1$ jaoks:

$$(n+1)((n+1)+1).$$

Tõlgendus: baassamm ja induktsioonisamm koos näitavad, et valem kehtib kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Tüüpviga

Induktsioon ei ole “kontrollin mõne näite peal”. Näited aitavad aimata, aga tõestuseks on vaja üldist sammu.

Teine tüüpviga on unustada baassamm. Ilma esimese doomino kukkumiseta ei piisa teadmisest, et iga doomino lükkaks järgmise.

Kolmas tüüpviga on induktsioonisammus induktsioonieeldust mitte kasutada. Kui väide tuleb tõestada $n+1$ jaoks, peab kuskil ilmuma eeldus $n$ kohta.

Neljas tüüpviga on tõestada ainult üleminekut, aga mitte öelda, millisest väärtusest tõestus algab. Kui väide algab näiteks $n=0$ korral, peab ka baassamm olema $n=0$.

Teine seletusviis

Induktsiooni võib mõelda redelina: esimene aste peab kandma ja iga astme pealt peab saama järgmisele.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kontrolli summavalemit $n=3$ korral.
2. Miks on baassamm vajalik?
3. Mida tähendab induktsioonieeldus?

Rakendus

1. Tõesta induktsiooniga, et $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
2. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on $P(n)$?

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude $n=1,2,3$ kontrollimisest?
2. Väide $P(n)$ algab väärtusest $n=0$. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?
3. Õpilane kontrollib $P(1)$, eeldab $P(n)$ ja kirjutab kohe „järelikult $P(n+1)$”. Mis on tõestusest puudu?

Vastused

1. $1+2+3=6$ ja $\frac{3\cdot4}{2}=6$.
2. See käivitab tõestuse, nagu esimene doomino.
3. Oletame, et väide kehtib mingi $n$ korral, et selle abil tõestada järgmine juht.
4. Baassamm: $1=1^2$. Eeldus: $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$. Lisame järgmise paaritu arvu $2n+1$: $n^2+2n+1=(n+1)^2$. Seega kehtib väide kõigi naturaalarvude $n$ korral.
5. Tuleb tõestada, et $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
6. Sest üksikud näited ei tõesta väidet kõigi naturaalarvude kohta; vaja on ka üleminekusammu $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
7. Baassamm on $P(0)$. Induktsioonisammus eeldatakse $P(n)$ ja tõestatakse $P(n+1)$.
8. Puudu on põhjendus, kuidas $P(n)$ abil saadakse $P(n+1)$; eeldus üksi järgmist juhtu ei tõesta.

Seosed

Induktsioon toetub loogilisele järeldusele ja on lähedane rekursioonile: rekursioon arvutab järgmise väärtuse varasemate põhjal, induktsioon tõestab järgmise juhu varasema põhjal. Järgmine peatükk kasutab sama mõtet algoritmide ja rekursiivsete kirjelduste juures.

Algoritmid ja rekursioon

Mõiste

Algoritm on täpne sammude jada probleemi lahendamiseks. Rekursioon tähendab, et objekt või arvutus määratletakse eelmiste väärtuste kaudu.

Eeldus: oskad kasutada jaguvust, jääki, lihtsaid tingimuslauseid ja jadade esimesi liikmeid.

Hea algoritm kirjeldab:

• sisendit: millised andmed antakse;
• samme: mida nendega tehakse;
• väljundit: mis tulemus saadakse;
• lõpetamistingimust: millal töö lõpeb.

Algoritmi kontrollimisel küsi alati: kas sisend on selge, kas sammud on üheselt mõistetavad ja kas arvutus jõuab lõpuni?

Lõppemise kontrolliks otsi suurust, mis igal sammul liigub peatustingimuse poole. Eukleidese algoritmis muutub jääk väiksemaks; rekursioonis peab järgmine väljakutse olema lihtsam juht.

Pseudokood

Pseudokood on inimloetav kirjeldus, mis sarnaneb programmile, aga ei sõltu ühestki programmeerimiskeelest.

Näide: kahe arvu summa.

sisend: arvud a ja b
summa = a + b
väljund: summa

Näide: leia loendist suurim arv.

sisend: arvude loend
suurim = esimene arv loendis
iga järgmise arvu kohta:
    kui arv > suurim:
        suurim = arv
väljund: suurim

Eukleidese algoritm

Kahe arvu suurima ühisteguri saab leida jääkide abil.

sisend: positiivsed täisarvud a ja b
kuni b ei ole 0:
    jääk = a jagamisel b-ga tekkiv jääk
    a = b
    b = jääk
väljund: a

Näiteks $SÜT(48,18)$:

$$48=2\cdot18+12,$$

$$18=1\cdot12+6,$$

$$12=2\cdot6+0.$$

Kui jääk on 0, on viimane nullist erinev jagaja 6. Seega $SÜT(48,18)=6$.

Rekursioon

Fibonacci jada:

$$F_1=1,\qquad F_2=1,$$

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$

Siin on peatustingimused $F_1=1$ ja $F_2=1$. Ilma nendeta ei teaks, kust arvutamist alustada.

Rekursiivne pseudokood Fibonacci arvu jaoks:

F(n):
    kui n = 1 või n = 2:
        tagasta 1
    muidu:
        tagasta F(n-1) + F(n-2)

Peatustingimus on rida

kui n = 1 või n = 2:
    tagasta 1

See takistab lõputut tagasikutsumist.

Rekursioonis peab iga samm liikuma lihtsama juhu poole: $F_6$ vajab $F_5$ ja $F_4$, need vajavad veel varasemaid liikmeid, kuni jõutakse väärtusteni $F_1$ ja $F_2$.

Näide

Leia $F_6$.

Alustame teadaolevatest algväärtustest:

$$F_1=1,\quad F_2=1.$$

Seejärel kasutame reeglit $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2,$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3,$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5,$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8.$$

Vastus: $F_6=8$.

Kontroll: iga uus liige on kahe eelmise summa, nii et jada algus on $1,1,2,3,5,8$.

Tüüpviga

Rekursiivsel kirjeldusel peab olema algväärtus. Muidu ei saa arvutust alustada.

Teine tüüpviga on kirjutada rekursioon nii, et see ei liigu peatustingimuse poole. Näiteks kui $F(n)$ kutsub uuesti $F(n)$, ei muutu ülesanne väiksemaks ja arvutus ei lõpe.

Kolmas tüüpviga on ajada algoritmi kirjeldus ja üks konkreetne arvutus segi. Algoritm peab töötama kõigi lubatud sisendite jaoks, mitte ainult ühe näite jaoks.

Neljas tüüpviga on jätta sisendipiirid ütlemata. Näiteks Eukleidese algoritmi juures peab olema selge, et sisendiks on positiivsed täisarvud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia Fibonacci jada kuues liige.
2. Kirjelda algoritm kahe arvu suurima ühisteguri leidmiseks.

Rakendus

1. Miks vajab rekursioon lõpetamistingimust?
2. Mis on sisend ja väljund Eukleidese algoritmis?

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta pseudokood, mis kontrollib, kas arv $n$ on paarisarv.
2. Mis juhtub rekursiooniga, kui peatustingimus puudub?
3. Milline on sisend, väljund ja lõpetamistingimus algoritmis, mis loendab arvud 1-st $n$-ni?
4. Miks on oluline, et rekursiivne samm liiguks lihtsama juhu poole?

Vastused

1. $F_6=8$.
2. Jaga suuremat väiksemaga, asenda arvud jagaja ja jäägiga, korda kuni jääk on 0; viimane nullist erinev jagaja on SÜT.
3. Et arvutus lõpeks ja jõuaks teadaoleva algväärtuseni; iga samm peab liikuma sellele lähemale.
4. Sisend on kaks positiivset täisarvu, väljund on nende suurim ühistegur.
5. Näiteks:

sisend: n
kui n jagamisel 2-ga jääk on 0:
    väljund: paarisarv
muidu:
    väljund: paaritu arv

1. Arvutus võib jätkuda lõputult või kuni arvutil ressursid otsa saavad.
2. Sisend on positiivne täisarv $n$; väljund on arvud $1,2,\ldots,n$; lõpetamistingimus on see, et loendur jõuab väärtuseni $n$, seega järgmine samm enam uut arvu ei lisa.
3. Siis jõuab arvutus lõpuks algväärtuse või peatustingimuseni; rekursiivne sisend peab igal sammul lihtsamaks muutuma.

Seosed

Algoritmid seovad matemaatika informaatika, tõestuste, jadade ja modelleerimisega. Järgmine modelleerimise plokk kasutab sama mõtet: päris olukord tuleb muuta selgete sisendite, reeglite ja väljundiga matemaatiliseks mudeliks.