Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

Eeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada soodsaid tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.

Valem

Kui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Pildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Kui arvutus annab alla 0 või üle 1, on kuskil loenduse, nimetaja või sündmuste kattumise viga.

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Gümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus $B$ juba toimus, siis küsid sündmuse $A$ tõenäosust selle uue info korral.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$

Näide

Täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus

$$P=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Soodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Kahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.

Kahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega

$$P(\text{täpselt üks kull})=\frac24=\frac12.$$

Vastus: paarisarvu tõenäosus täringul on $\frac12$ ja täpselt ühe kulli tõenäosus kahe mündiviske korral on $\frac12$.

Kui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.

Tüüpviga

Tõenäosused liidetakse ainult siis, kui sündmused ei kattu, või tuleb kattuv osa eraldi arvesse võtta.

Näiteks täringul sündmused "paarisarv" ja "suurem kui 3" kattuvad tulemuste 4 ja 6 juures. Seetõttu ei saa nende tõenäosusi otse liita.

Teine tüüpviga on kasutada tinglikus tõenäosuses vale nimetajat. Kui tingimus kitsendab valikut, tuleb kõik võimalused lugeda ainult selle tingimuse seest.

Kolmas tüüpviga on eeldada, et kõik tulemused on alati võrdvõimalikud. Täringu tulemused on tavaliselt võrdvõimalikud, aga näiteks klassist juhuslikult valitud õpilase huviring ei pruugi olla igas rühmas sama jaotusega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?
2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?

Rakendus

1. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?
2. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?
3. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?

Mõtlemisülesanne

1. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?
2. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?
3. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?
4. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?

Vastused

1. Üks soodne tulemus kuuest: $\frac16$, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.
2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: $\frac26=\frac13$.
3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: $\frac14$.
4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega $\frac25$.
5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega $\frac3{10}$.
6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.
7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: $\frac7{10}$.
8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega $P=\frac46=\frac23$.
9. Suhteline sagedus on $\frac{18}{40}=0,45=45\%$; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.