Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik: mis on siin $100\%$? Alles siis küsi, millist osa otsid.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Protsendi muutus sõltub alati algsest suurusest. Kui hind muutub $80$ eurolt $92$ eurole, siis muutus on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Kui 80 eurot kallineb 15%, siis uus hind on

$$80\cdot1,15=92.$$

Kui 92 eurot odavneb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: uued hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; võrrandist $x=20$; klassis on 10 poissi ja 15 tüdrukut; $3\text{‰}$ arvust 5000 on 15.

Tüüpviga

Kui hind langeb 20% ja siis tõuseb 20%, ei jõua hind tagasi algsele tasemele. Protsendid võetakse erinevatest alustest.

Enne protsendi leidmist nimeta tervik ehk $100\%$. Kui tervik vahetub, vahetub ka protsendi väärtus.

Teine tüüpviga on ajada protsent ja protsendipunkt segi. Muutus $40\%$ pealt $50\%$ peale on $10$ protsendipunkti, mitte $10\%$ suhteline muutus.

Kolmas tüüpviga on lugeda suhet $2:3$ nii, nagu esimene suurus oleks $\frac23$ tervikust. Tegelikult on tervik $2+3=5$ osa, seega esimene suurus on $\frac25$ tervikust.

Teine seletusviis

Protsenti saab näha pildina: 100 võrdsest ruudust 25 ruutu on $25\%$. Sama mõte arvuna on $\frac{25}{100}=0,25$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Protsent on piltlikult osa sajast, arvuliselt kümnendmurd ja algebraliselt võrre. $25\%=0,25=\frac14$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

1. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
2. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
3. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
4. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

1. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
2. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
3. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
4. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$-punkti.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsendid on seotud statistika, intressi, tõenäosuse ja lineaarsete mudelitega. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama osa-terviku mõtet astmete, standardkuju ja hiljem funktsioonide kasvumudelite juures.