Finantsmatemaatika

Mõiste

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Eeldus: oskad protsenti kümnendmurruks muuta, astmeid kasutada ja ligikaudset suurusjärku hinnata.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Lihtintress

$$A=P(1+rt),$$

kus $P$ on algsumma, $r$ intressimäär aastas ja $t$ aeg aastates.

Lihtintressi korral arvutatakse intress ainult algsummalt.

Liitintress

$$A=P(1+r)^t.$$

Liitintressi korral lisandub intress juba kasvanud summale. Seetõttu kasvab summa aja jooksul kiiremini.

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Inflatsioon

Inflatsioon tähendab, et hinnatase tõuseb ja sama rahasumma ostujõud väheneb.

Kui aastane inflatsioonimäär on $i$, siis hinna ligikaudne kasv $t$ aasta jooksul on

$$H=H_0(1+i)^t.$$

Kui kaup maksab praegu 100 eurot ja inflatsioon on 4% aastas, siis 3 aasta pärast on sama kauba hinnanguline hind

$$100\cdot1,04^3\approx112,49.$$

See tähendab, et 100 euro ostujõud on väiksem kui varem.

Laenumakse

Laenumakse sõltub laenusummast, intressist ja tagasimakse ajast. Täpne annuiteetmakse valem on

$$M=P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},$$

kus:

• $P$ on laenusumma;
• $i$ on perioodi intressimäär;
• $n$ on maksete arv;
• $M$ on ühe perioodi makse.

Kui maksed on kuised, peab $i$ olema kuuintress ja $n$ kuude arv.

Kontrolli alati kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga ning lisada teenustasud.

Koolis on tihti kõige olulisem aru saada suurusjärgust: sama laenusumma ja sama aastaintressi korral vähendab pikem tagasimakse aeg kuumakset, kuid suurendab intressikulu kaudu kogukulu.

Näide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Vahe on väike kolme aasta jooksul, aga pikema aja jooksul kasvab liitintressi mõju tugevamaks.

Laenu lihtsustatud näide: kui laenad 1200 eurot ja maksad selle 12 kuuga tagasi ilma intressita, on kuumakse

$$\frac{1200}{12}=100\text{ eurot}.$$

Kui lisandub intress ja teenustasud, on tegelik kogukulu suurem kui 1200 eurot. Kogukulu tähendab kõigi maksete summat, mitte ainult algset laenusummat.

Vastus: liitintressiga on summa umbes 1157,63 eurot, lihtintressiga 1150 eurot ja intressita kuumakse 100 eurot.

Tüüpviga

5% ei ole arvutustes 5, vaid 0,05.

Teine tüüpviga on võrrelda ainult kuumakset. Väike kuumakse võib tähendada pikemat perioodi ja suuremat kogukulu.

Kolmas tüüpviga on inflatsiooni ignoreerida. Kui raha seisab ja hinnad tõusevad, võib sama summa eest tulevikus vähem osta.

Finantsülesannetes tuleb alati tähele panna, kas intressimäär on aasta, kuu või mõne muu perioodi kohta.

Neljas tüüpviga on ajada investeeringu tulevane väärtus ja ostujõud segi. Kui summa kasvab 5%, aga hinnad kasvavad samal ajal 5%, ei tähenda see suuremat ostujõudu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

1. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
2. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
3. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

1. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
2. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
3. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
4. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Vastused

1. $200\cdot0,12=24$ eurot.
2. $1000(1+0,04\cdot2)=1080$ eurot; siin on 4% aastaintress ja aeg 2 aastat.
3. Sest intress teenib järgmisel perioodil omakorda intressi.
4. $500\cdot1,03^4\approx562,75$ eurot.
5. $80\cdot1,05=84$ eurot.
6. $40\cdot12=480$ eurot ühe aastaga; siin on 12 kuumakset.
7. $600/6=100$ eurot kuus; kogukulu on endiselt 600 eurot, kui intressi ja teenustasusid ei lisandu.
8. Sest tähtis on ka tagasimakse aeg, intress, teenustasud ja kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga.
9. $120\cdot1,15=138$ eurot.
10. $18\cdot35=630$ eurot kogukulu enne intressi ja teenustasusid.

Seosed

Finantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.