Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Eeldus: oskad kasutada lineaar- ja eksponentseoseid, astmeid ning lihtsaid summavalemeid.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Jada võib esitada:

• liikmete loendina;
• üldliikme valemina, näiteks $a_n=2n+1$;
• rekursiivselt, näiteks $a_{n+1}=a_n+4$.

Üldliikme valem annab $n$-nda liikme otse; rekursiivne valem vajab eelmist liiget.

Aritmeetilise ja geomeetrilise jada võrdlus

Aritmeetiline jada

Iga järgmine liige saadakse sama arvu liitmisel:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Siin $d$ on jada vahe.

Aritmeetilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n).$$

Geomeetriline jada

Iga järgmine liige saadakse sama teguriga korrutamisel:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

Siin $q$ on jada tegur ehk jagatis.

Kui $q\ne1$, siis geomeetrilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Kui $|q|<1$, lähenevad geomeetrilise jada liikmed nullile. Sellise jada piirväärtus ja lõpmatu summa on järgmise peatüki teema.

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese 10 liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada

$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ldots$$

on geomeetriline, sest iga järgmine liige saadakse 2-ga korrutades. Siin $a_1=5$ ja $q=2$, seega

$$a_n=5\cdot2^{n-1}.$$

Kuues liige on

$$a_6=5\cdot2^5=160.$$

Vastus: aritmeetilise jada kümnes liige on 39 ja summa 210; geomeetrilise jada kuues liige on 160.

Tüüpviga

Aritmeetilises jadas liidetakse sama arv. Geomeetrilises jadas korrutatakse sama teguriga.

Teine tüüpviga on kasutada valemis $n$ asemel liikme väärtust. $a_n$ on $n$-nda liikme väärtus, aga $n$ ise on järjekorranumber.

Kolmas tüüpviga on unustada, et geomeetrilise jada tegur võib olla ka murd või negatiivne arv. Näiteks

$$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ldots$$

on geomeetriline jada teguriga $q=\frac12$.

Neljas tüüpviga on arvata, et geomeetrilise jada tegur peab olema positiivne. Negatiivse teguri korral vahelduvad liikmete märgid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

1. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
2. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
3. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
2. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
3. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Vastused

1. $d=5$, sest järjestikuste liikmete vahe on 5.
2. $a_n=4+(n-1)5=5n-1$, sest esimene liige on 4 ja iga samm lisab 5.
3. `$a_{20}=99$, sest $a_{20}=5\cdot20-1$; siin $20$ on järjekorranumber.
4. Geomeetriline jada teguriga $q=2$, sest paksuste jagatis on püsiv.
5. $A(n)=1000\cdot1{,}05^n$, sest iga aasta korrutatakse summa teguriga 1,05.
6. $h_4=2\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{32}\approx0{,}84$ m; esimese ja neljanda põrke vahel on kolm tegurit.
7. Siin $a_1=1$, $a_n=28$, $d=3$, liikmeid on 10; `$S_{10}=145$, sest $S_{10}=\frac{10}{2}(1+28)$.
8. $a_5=8\left(-\frac12\right)^4=\frac12$ ja $S_5=8-4+2-1+\frac12=5{,}5$; negatiivne tegur vahetab märki.
9. Kuusummade vahe on alati 20 eurot, seega on jada aritmeetiline. $a_{12}=320$ ja $S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=2520$ eurot.

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.