Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos
Mõiste
Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul
$$y=f(x).$$
Eeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.
Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.
Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:
- sõnadega: mida sisendiga tehakse;
- tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
- valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
- graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.
Lubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.
Kui jäid kinni
Loe $f(3)$ nii: „funktsiooni $f$ väärtus sisendi 3 korral”. Asenda valemis $x$ arvuga 3 ja arvuta kogu avaldis.
Õpetaja kontrollmõte
Lase õpilasel liikuda ühes näites sõnadest tabeli ja valemini ning sealt graafikule. Kontrolli eraldi, kas ta eristab funktsiooni nime, sisendi nime ja väljundit.
Kui sisend ja väljund lähevad vahetusse, palu õpilasel öelda seos ühe täislausega: millest tulemus sõltub?
- Miinimum: õpilane leiab valemi järgi ühe funktsiooni väärtuse.
- Tavarada: õpilane seob tabeli, valemi ja graafiku punktid.
- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab, kas etteantud vastavus on funktsioon.
Näide
Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis
$$h(t)=2t+3.$$
Kui $t=4$, siis
$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$
Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.
Vastus: $h(4)=11$ eurot.
Tüüpviga
Tüüpviga on arvata, et $f$ või $h$ on sisend. Avaldises $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend.
Teine viga on anda samale sisendile kaks eri väljundit. Kui tabelis vastab sisendile 2 nii 5 kui 7, ei kirjelda tabel ühte funktsiooni.
Kolmas viga on ühendada graafikul kõik punktid automaatselt. Kui sisend saab olla ainult täisarv, võivad ka graafikul olla ainult eraldi punktid.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.
- Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.
- Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.
Rakendus
- Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.
- Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.
- Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.
Mõtlemisülesanne
- Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.
- Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.
- Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?
Vastused
- $f(4)=3\cdot4-2=10$.
- Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.
- $(2;6)$, sest $2+4=6$.
- Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.
- Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.
- $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.
- Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.
- Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.
- Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.
Seosed
Järgmine peatükk uurib võrdeline seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.