Muutuja ja avaldis Matemaatika kiirreferents

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Tehete järjekorra sammud
Tehete järjekord: enne sulud, siis astmed, seejärel korrutamine ja jagamine ning lõpuks liitmine ja lahutamine.

Asendamisel tee kolm sammu:

  1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
  2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
  3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Tüüpviga

Avaldis $3x$ tähendab $3\cdot x$, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.

Teine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:

$$3x+5\ne8x.$$

Kolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:

$$2(x+5)\ne2x+5.$$

Õige on

$$2(x+5)=2x+10.$$

Neljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:

$$x^2\text{ kui }x=-3\quad\text{on}\quad(-3)^2=9,$$

mitte $-3^2=-9$.

Viies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:

$$2a+3b$$

ei lihtsustu kujule $5ab$. Need ei ole sarnased liikmed.

Teine seletusviis

Muutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: "$x$ tähendab ...".

Tekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind $4p+2$; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind $4(p+2)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
  2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
  3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
  4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

  1. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
  2. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
  3. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

  1. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
  2. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
  3. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
  4. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
  5. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

  1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
  2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
  3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
  4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
  5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
  6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
  7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
  8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
  9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
  10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
  11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
  12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.