Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Eeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.

Sündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Ühisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis

$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

Üldisemalt

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A),$$

kus $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Bernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.$$

Sellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.

Korrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\le r\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.

Usaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.

Tõenäosusmudelist järelduseni — Mudeli eeldused määravad arvutusviisi ning valimi esinduslikkus määrab, kui usaldusväärselt saab tulemust üldkogumile laiendada.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

$$P(X=3)=\binom53\left(\frac12\right)^3 \left(\frac12\right)^2 =\frac{10}{32} =0{,}3125.$$

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Tüüpviga

Sõltumatust ei tohi eeldada ainult mugavuse pärast. Kaartide võtmisel ilma tagasipanekuta muutub teise sündmuse tõenäosus.

Teine tüüpviga on liita sündmuste tõenäosused ühisosa lahutamata. Valem $P(A)+P(B)$ sobib otse ainult välistavate sündmuste korral.

Kolmas tüüpviga on tõlgendada korrelatsiooni põhjusena või laiendada mugavusvalimi tulemus kogu elanikkonnale.

Õpetaja diagnostika

Küsi: „Kuidas valim saadi?” ja „Kas kaks nähtust võivad sõltuda kolmandast tegurist?” Vastused näitavad, kas õppija hindab enne arvutamist järelduse usaldusväärsust.

Harjutused

Lihtne kontroll

Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Vastused

$\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.
$0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$.
Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.
$A=\{2,4,6\}$ ja $B=\{5,6\}$; ühend on $\{2,4,5,6\}$, seega $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.
$\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.
Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.
Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.
$E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.
Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.