Probleemilahendus ja mudelid Matemaatika kiirreferents

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

samm küsimus tulemus
olukord mis päriselt toimub? lühike kirjeldus
andmed millised arvud on antud? nimekiri koos ühikutega
muutujad mis on tundmatu või muutuv? näiteks $x$, $y$, $t$
eeldused mida lihtsustame? näiteks hind on igas tunnis sama
seos kuidas suurused omavahel sõltuvad? valem, tabel või võrrand
kontroll kas vastus sobib olukorraga? ühikud, suurusjärk, piirangud

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Õpetaja kontrollmõte

Enne arvutust lase täita: sisend ..., väljund ..., eeldus ... ja valin selle mudeli, sest .... Lõpus küsi ühikut, kehtivuspiirkonda ja realistlikkust.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Tüüpviga

Mudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.

Teine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. $x$ üksi ei ole piisav; kirjuta “$x$ on tundide arv”.

Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem $y=3x+4$ ei ütle ainult arve: $x$ on tunnid ja $y$ on eurod.

Neljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.

Teine seletusviis

Mudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.

Harjutused

Kitsas fookus: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Lai fookus: nimeta eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

  1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
  2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

  1. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
  2. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

  1. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
  2. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
  3. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

  1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
  2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
  3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
  4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
  5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
  6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
  7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus saab päriselus õige olla.