Hinnangud ja ühikuanalüüs

Mõiste

Hinnang aitab kontrollida, kas vastus on mõistlik. Ühikuanalüüs kontrollib, kas valem annab otsitava suuruse.

Eeldus: oskad ühikuid teisendada, ümardada ja teha peast lihtsaid korrutamisi-jagamisi.

Hinnangus ei otsita alati täpset vastust. Sageli piisab suurusjärgust: kas vastus on umbes 10, 100, 1000 või miljon?

Enne täpset arvutust küsi: mis suurusjärku vastus peaks olema ja mis ühik lõpuks peab jääma?

Pärast arvutust võrdle täpset vastust hinnanguga. Kui need erinevad mitu korda, kontrolli ühikuid, koma asukohta ja eeldusi.

Mõistlikkust aitab kontrollida võrdlus tuttava suurusega: inimese pikkus, koolipäeva kestus, liitrise pudeli maht või tavaline hind.

Mudeli usaldusväärsust kontrolli küsimusega: milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem?

Hea hinnang:

• ümardab andmed lihtsamaks;
• kasutab mõistlikke eeldusi;
• hoiab ühikud alles;
• kontrollib, kas tulemus sobib päriseluga.

Ühikuanalüüs

Ühikuid saab arvutada nagu tegureid. Seepärast näitab ühik juba enne lõppu, kas mudeli rollid on õiged.

Näiteks kiiruse valemis

$$v=\frac{s}{t}$$

on teepikkuse ühik meetrites ja aja ühik sekundites:

$$\frac{\text{m}}{\text{s}}=\text{m/s}.$$

Kui valem peaks andma aja, aga ühikuks tuleb m², siis on midagi valesti.

Ühikuanalüüs ei tõesta, et arv on õige, aga aitab kiiresti märgata valesid tehteid.

Ühik aitab ka otsustada, mida vastus tähendab. Kui arvutuse lõpus tuleb eurot kuus, ei saa seda tõlgendada kogukuluna kogu aasta kohta.

Näide

Kui sõita 120 km kiirusega 60 km/h, siis aeg on

$$t=\frac{s}{v}=\frac{120\text{ km}}{60\text{ km/h}}=2\text{ h}.$$

Ühikud kinnitavad, et vastus on aeg.

Peastarvutuse hinnang:

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000.$$

Täpne väärtus on 1029, seega hinnang oli mõistlik.

Vastus: sõiduaeg on 2 h ja korrutise hinnang on umbes 1000.

Fermi-ülesande näide

Küsimus: umbes mitu liitrit vett joob üks koolitäis õpilasi koolipäeva jooksul?

Teeme eeldused:

• koolis on umbes 600 õpilast;
• üks õpilane joob koolipäeva jooksul umbes 0,5 liitrit vett.

Siis hinnang on

$$600\cdot0{,}5=300.$$

Vastus: umbes 300 liitrit vett päevas.

See ei ole täpne mõõtmine. See on mõistlik hinnang, mida saab parandada, kui meil on paremad andmed.

Nimeta ka, milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem.

Ühikukontroll:

$$\text{õpilast}\cdot\frac{\text{liitrit}}{\text{õpilane}}=\text{liitrit}.$$

Õpilaste ühik taandub välja ja tulemus on liitrites.

Tüüpviga

Kui valemi tulemusel saad vale ühiku, on tõenäoliselt valem või asendus vale.

Teine tüüpviga on anda hinnang liiga täpselt. Kui andmed on hinnangulised, ei ole mõtet vastata “302,7 liitrit”; parem on “umbes 300 liitrit”.

Kolmas tüüpviga on eeldused välja kirjutamata jätta. Fermi-ülesandes on eeldused pool lahendusest.

Neljas tüüpviga on ümardada liiga vara. Kui arvutuses on mitu sammu, tee hinnang eraldi, aga täpsem vastus arvuta võimalusel enne lõplikku ümardamist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Hinda peast $49\cdot21$.
2. Mis ühik tekib, kui jagada meetrid sekunditega?
3. Kontrolli ühikut valemis $S=ab$.

Rakendus

1. Hinda, mitu minutit on ühes nädalas.
2. Koosta Fermi-hinnang: umbes mitu vihikut kasutab 25 õpilasega klass ühe õppeaasta jooksul, kui iga õpilane kasutab umbes 8 vihikut?

Mõtlemisülesanne

1. Mis ühik tekib, kui korrutada kiirus km/h ajaga h?
2. Miks ei ole Fermi-ülesandes liiga täpne vastus tavaliselt usaldusväärne?
3. Hinda, kas 3 kg õunu hinnaga 1,95 eurot/kg maksab pigem 4, 6 või 10 eurot.
4. Kui vastuse ühik on eurot kuus, mida peab tegema, et saada aastane kogukulu?

Vastused

1. Umbes 1000.
2. m/s, kiiruse ühik.
3. Kui $a$ ja $b$ on pikkused, siis ühik on pikkus korda pikkus ehk ruutühik.
4. $7\cdot24\cdot60=10080$, seega umbes 10000 minutit.
5. $25\cdot8=200$ vihikut.
6. Kilomeetrid, sest $\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\text{h}=\text{km}$.
7. Sest algandmed on ligikaudsed; liiga palju komakohti jätab vale täpsuse mulje.
8. Pigem 6 eurot, sest $3\cdot1{,}95\approx3\cdot2=6$.
9. Tuleb korrutada kuude arvuga, tavaliselt 12-ga: $\text{eurot/kuu}\cdot12\text{ kuud}=\text{eurot}$.

Seosed

Hinnang ja ühikuanalüüs on modelleerimise kvaliteedikontroll. Järgmises finantsmatemaatika peatükis aitavad need märgata, kas intress, protsent ja rahaühik on õigesti tõlgendatud.