Mõõtkava ja proportsioon

Mõiste

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Eeldus: oskad teisendada pikkusühikuid ning saad aru suhtest ja võrdest.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Võrdes on kaks suhet võrdsed. Mõõtkaval 1 : 50 000:

$$\frac{1\text{ cm}}{50\,000\text{ cm}}=\frac{x\text{ cm}}{y\text{ cm}},$$

kus $y$ on tegelik kaugus samas ühikus.

Mõlemal pool suhet peab olema sama ühik. Arvuta sentimeetrites ja teisenda lõpus.

Enne arvutust ütle suund: kas otsid tegelikku pikkust joonise järgi või joonise pikkust tegelikkuse järgi.

Ühikukontroll:

$$1000\text{ cm}=10\text{ m},$$

mitte 1000 m. Mõõtkava ja ühiku teisendus on eri sammud.

Näide

Kaart

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Plaan

Toa plaani mõõtkava on 1 : 100. Kui sein on plaanil 4,2 cm, siis tegelik sein on

$$4,2\cdot100=420\text{ cm}=4,2\text{ m}.$$

Mudelauto mõõtkava on 1 : 20. Kui mudelauto pikkus on 22 cm, siis tegeliku auto pikkus on

$$22\cdot20=440\text{ cm}=4,4\text{ m}.$$

Kui tegelik pikkus on teada, jagame teguriga. Näiteks 1 : 50 plaanil vastab 3 m ehk 300 cm pikkusele

$$300:50=6\text{ cm}.$$

Mõnikord on mudel suurem, näiteks raku mudel. Mõõtkava 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Vastus: 1 km, 4,2 m ja 4,4 m.

Tüüpviga

Pikkused muutuvad mõõtkava järgi $k$ korda, pindalad aga $k^2$ korda.

Näiteks mõõtkavas 1 : 10 on pikkused 10 korda väiksemad, aga pindalad 100 korda väiksemad.

Teine viga on ühikute vahele jätmine:

$$4\cdot25\,000=100\,000.$$

See arv tähendab sentimeetreid, sest kaardil mõõdeti sentimeetrites. Alles siis teisenda:

$$100\,000\text{ cm}=1000\text{ m}=1\text{ km}.$$

Kolmas viga on jagada siis, kui peaks korrutama. Kui kaardipikkusest otsid tegelikku pikkust, peab tegelikkus olema suurem.

Neljas viga on lugeda suurendavat mõõtkava nagu vähendavat. 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui mõõtkava on 1 : 100 000, mitu kilomeetrit vastab 3 cm-le?
2. Mudelauto on tegelikust autost 20 korda väiksem. Mis on mõõtkava?
3. Miks pindala mõõtkava ei ole sama mis pikkuse mõõtkava?
4. Plaani mõõtkava on 1 : 50. Kui laud on tegelikult 150 cm pikk, kui pikk on see plaanil?

Rakendus

1. Kaardil on vahemaa 7 cm ja mõõtkava 1 : 200 000. Kui pikk on vahemaa tegelikkuses kilomeetrites?
2. Toa plaanil on kapi laius 3,6 cm. Mõõtkava on 1 : 25. Kui lai on kapp tegelikult sentimeetrites ja meetrites?
3. Kahe linna vahe on kaardil 8,5 cm. Mõõtkava on 1 : 500 000. Leia tegelik kaugus kilomeetrites.
4. Matkaplaanil on Otepää matkaraja lõik 4,2 cm. Mõõtkava on 1 : 50 000. Leia lõigu tegelik pikkus kilomeetrites.

Mõtlemisülesanne

1. Tegelik aed on 18 m pikk. Kui pikk on see plaanil mõõtkavas 1 : 200?
2. Mudeli mõõtkava on 5 : 1. Kui tegelik detail on 4 cm pikk, kui pikk on mudelil sama detail?
3. Leia viga: õpilane arvutas mõõtkaval 1 : 100 000, et 2 cm kaardil on $2:100\,000=0,00002$ km.
4. Kaart on mõõtkavas 1 : 10 000. Kui tegelik teelõik on 600 m, kui pikk on see kaardil?

Vastused

1. $3\cdot100\,000=300\,000\text{ cm}=3\text{ km}$.
2. 1 : 20, sest mudeli 1 osa vastab tegelikkuse 20 osale.
3. Pindala muutub pikkuse muutuse ruuduga.
4. $150:50=3\text{ cm}$, sest tegelikkusest plaanile minnes jagad.
5. $7\cdot200\,000=1\,400\,000\text{ cm}=14\text{ km}$.
6. $3,6\cdot25=90\text{ cm}=0,9\text{ m}$, sest plaanilt tegelikkusesse minnes korrutad.
7. $8,5\cdot500\,000=4\,250\,000\text{ cm}=42,5\text{ km}$.
8. $4,2\cdot50\,000=210\,000\text{ cm}=2,1\text{ km}$.
9. $18\text{ m}=1800\text{ cm}$, seega $1800:200=9\text{ cm}$.
10. $4\cdot5=20\text{ cm}$, sest 5 : 1 suurendab mudelit.
11. Kui kaardipikkusest otsitakse tegelikku pikkust, tuleb korrutada: $2\cdot100\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}$.
12. $600\text{ m}=60\,000\text{ cm}$, seega $60\,000:10\,000=6\text{ cm}$.

Seosed

Mõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.