Püstprisma

Mõiste

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Eeldus: oskad leida hulknurga pindala ja ümbermõõtu, teisendada pindala- ning ruumalaühikuid ja eristada pindala ruumalast.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Pinnalaotus näitab kõiki tahke tasapinnale laotatuna. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.

Valemid

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Ruumala valem mõõdab keha sisse mahtuvat ruumi. Külgpindala liidab ristkülikukujulised külgtahud. Täispindala liidab külgpindalale kaks võrdset põhja.

Näide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Vastus: ruumala on $120\text{ cm}^3$ ja täispindala $184\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Täispindalas on kaks põhja:

$$S_{\text{täis}}=2S_p+S_{\text{külg}},$$

mitte $S_p+S_{\text{külg}}$.

Teine tüüpviga on kasutada põhja ümbermõõdu asemel põhja pindala külgpindala leidmisel. Külgtahkude laiused annavad kokku põhja ümbermõõdu, seega $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Kolmas tüüpviga on ühik: pindala vastus on ruutühikutes, ruumala vastus kuupühikutes.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhitahku on püstprismal?
2. Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 8 cm² ja prisma kõrgus 6 cm. Leia ruumala.
3. Põhja ümbermõõt on 20 cm ja prisma kõrgus 7 cm. Leia külgpindala.

Rakendus

1. Põhja pindala on 15 cm², põhja ümbermõõt 18 cm ja prisma kõrgus 8 cm. Leia ruumala ja täispindala.
2. Nelinurkse püstprisma põhi on ristkülik külgedega 3 cm ja 5 cm. Prisma kõrgus on 10 cm. Leia ruumala.
3. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on mitu kolmnurka ja mitu ristkülikut?

Mõtlemisülesanne

1. Püstprisma ruumala on 180 cm³ ja põhja pindala 30 cm². Leia prisma kõrgus.
2. Kahel püstprismal on sama põhja pindala. Teise prisma kõrgus on esimesest kolm korda suurem. Kuidas võrdlevad nende ruumalad?
3. Selgita, miks ei piisa täispindala leidmiseks ainult põhja pindalast ja prisma kõrgusest.
4. Püstprisma külgpindala on 96 cm² ja kõrgus 8 cm. Leia põhja ümbermõõt.

Vastused

1. Kaks võrdset ja paralleelset põhitahku.
2. $V=8\cdot6=48\text{ cm}^3$.
3. $S_{\text{külg}}=20\cdot7=140\text{ cm}^2$.
4. $V=15\cdot8=120\text{ cm}^3$ ja $S_{\text{täis}}=2\cdot15+18\cdot8=174\text{ cm}^2$.
5. Põhja pindala on $3\cdot5=15\text{ cm}^2$, seega $V=15\cdot10=150\text{ cm}^3$.
6. Kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.
7. $h=180:30=6\text{ cm}$, sest $V=S_ph$.
8. Teise prisma ruumala on kolm korda suurem, sest sama $S_p$ korral muutub $V=S_ph$ kõrgusega võrdeliselt.
9. Külgpindala jaoks on vaja ka põhja ümbermõõtu $P_p$; sama pindalaga põhjadel võivad olla erinevad ümbermõõdud.
10. $P_p=96:8=12\text{ cm}$, sest $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Seosed

Püstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.