Pindala ja ruumala Matemaatika kiirreferents

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.

Enne valemit otsusta:

Küsimus Otsitav suurus Ühik
Kui pikk on äär? ümbermõõt cm, m, km
Kui suur pind kaetakse? pindala cm², m²
Kui palju mahub sisse? ruumala cm³, m³, l

Valemid

Pindala

Kujund Valem Tähendus
ristkülik $S=ab$ $a$ ja $b$ on küljed
ruut $S=a^2$ $a$ on külg
kolmnurk $S=\frac{ah}{2}$ $a$ on alus, $h$ kõrgus
rööpkülik $S=ah$ $a$ on alus, $h$ kõrgus
trapets $S=\frac{(a+b)h}{2}$ $a$ ja $b$ on alused
romb $S=\frac{d_1d_2}{2}$ $d_1$ ja $d_2$ on diagonaalid
ring $S=\pi r^2$ $r$ on raadius
Kolmnurga pindala joonis
Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristküliku pindalast.
Ristkülik.
Ristküliku pindala on kahe külje pikkuste korrutis.
Ruut.
Ruudu pindala on ühe külje pikkuse ruut.
Trapetsi pindala joonis
Trapetsi pindala sõltub kahe aluse summast ja kõrgusest.

Ruumala

Keha Valem Tähendus
risttahukas $V=abc$ $a,b,c$ on servad
kuup $V=a^3$ $a$ on serv
prisma $V=S_p h$ $S_p$ on põhja pindala
silinder $V=\pi r^2h$ $r$ on põhja raadius

Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.

Risttahukas.
Risttahuka kujundi ruumala on kolme serva korrutis.
Kuup.
Kuubi kujundi ruumala on ühe serva kuup.
Silinder.
Silindri ruumala on põhja pindala korda kõrgus.

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on

$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$

Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.

Tüüpviga

Pindalaühikud on ruutühikud, näiteks cm². Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks cm³.

Kolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.

Ära aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
  2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
  3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?

Rakendus

  1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
  2. Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
  3. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?

Mõtlemisülesanne

  1. Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
  2. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
  3. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
  4. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
  5. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?

Vastused

  1. $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
  2. $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
  3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
  4. $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
  5. $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
  6. $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
  7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
  8. $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
  9. Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
  10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
  11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.