Ruumigeomeetria

Mõiste

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Eeldus: oskad arvutada pindala ja ruumala, kasutada Pythagorase teoreemi ning eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

pindala: kui suur on keha välispind;
ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Keha pindala tähendab kogu välispinda kokku, mitte ainult põhja pindala.

Tahukad

Tahukas on keha, mille tahud on hulknurgad. Näiteks kuup, risttahukas, prisma ja püramiid on tahukad.

Tahukate näited — Risttahukas, kolmnurkne prisma ja püramiid tahukate näidetena.

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Risttahuka ruumala, kui servad on $a,b,c$:

$$V=abc.$$

Pöördkehad

Pöördkeha tekib siis, kui tasandiline kujund pöörleb ümber sirge. Näiteks ristküliku pöörlemisel tekib silinder, täisnurkse kolmnurga pöörlemisel koonus.

Olulisemad valemid:

Tabel. Veerud: keha, ruumala, pindala
keha	ruumala	pindala
silinder	$V=\pi r^2h$	$S=2\pi r^2+2\pi rh$
koonus	$V=\frac13\pi r^2h$	$S=\pi r^2+\pi rs$
kera	$V=\frac43\pi r^3$	$S=4\pi r^2$

Koonuse valemis on $s$ moodustaja ehk külgjoone pikkus.

Lõiked

Lõige on kujund, mis tekib, kui keha mõttes tasandiga läbi lõigata. Lõike kuju sõltub sellest, mis suunast keha lõigata.

Näiteks:

silindri horisontaalne lõige on ring;
silindri telglõige on ristkülik;
koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk;
kera iga tasandlõige on ring, kui tasand kera üldse lõikab.

Lõigete ülesannetes aitab kõigepealt joonistada nähtavale tasandiline kujund: sageli muutub ruumiülesanne kolmnurga või ristküliku ülesandeks.

Märgi abijoonisel eraldi pikkused, kõrgused ja otsitav lõik.

Näide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Kui püramiidi põhja pindala on 30 cm² ja kõrgus 9 cm, siis

$$V=\frac13\cdot30\cdot9=90\text{ cm}^3.$$

Vastus: silindri ruumala on $45\pi$, kuubi ruumala 64 cm³, kuubi pindala 96 cm² ja püramiidi ruumala 90 cm³.

Tüüpviga

Ruumala ja pindala valemid mõõdavad eri asju. Pindala ühik on ruutühik, ruumala ühik kuupühik.

Teine tüüpviga on kasutada püramiidi või koonuse puhul prisma või silindri valemit. Püramiidi ja koonuse ruumala on sama põhja ja kõrgusega prisma või silindri ruumalast kolm korda väiksem:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kolmas tüüpviga on segada koonuse kõrgus ja moodustaja. Kõrgus on risti põhjaga, moodustaja kulgeb mööda külgpinda.

Neljas tüüpviga on lõikeülesandes jätta tasandiline abijoonis tegemata. Sageli peitub ruumiülesandes tavaline täisnurkne kolmnurk.

Harjutused

Lihtne kontroll

Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
Leia silindri ruumala, kui $r=2$ ja $h=10$.
Miks kera ruumala valemis on $r^3$?

Rakendus

Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.
Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.
Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ ja $h=8$.

Mõtlemisülesanne

Mis kujuga on silindri telglõige?
Mis kujuga on kera tasandlõige?
Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.
Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?

Vastused

64 cm³, sest kuubi ruumala on $4^3$.
$V=\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi$; kui mõõdud on sentimeetrites, siis ühik on $\text{cm}^3$.
Ruumala mõõdab kolmemõõtmelist suurust; raadius mõjutab pikkust, laiust ja kõrgust, seega ühik on kuupühik.
70 cm³, sest risttahuka ruumala on $2\cdot5\cdot7$.
72 cm³, sest püramiidi ruumala on kolmandik $S_p h$-st.
$24\pi\text{ cm}^3$, sest koonuse ruumala on $\frac13\pi r^2h$.
Ristkülik; telglõige läbib silindri telge.
Ring, kui tasand kera lõikab.
$\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
Külgpind kulgeb mööda koonuse külge; kõrgus on keha sees põhjaga risti ja ei mõõda külgpinna kallakut.

Seosed

Ruumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.