Joone ja ringjoone võrrandid

Mõiste

Joone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.

Eeldus: oskad leida kahe punkti vahelist vektorit, sirge tõusu ja lõigu keskpunkti ning tunned vektorite ristseisu.

Sirge levinud kujud:

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0.$$

Kui sirge läbib punkti $P(x_0;y_0)$ ja tema sihivektor on $(p;q)$, siis sobib võrrand

$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$

Paralleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on $k_1k_2=-1$, kui mõlemad tõusud on olemas.

Ringjoon keskpunktiga $K(a;b)$ ja raadiusega $r$:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

Joonte lõikepunkti leidmiseks lahendatakse nende võrranditest moodustatud süsteem.

Näide

Sirge läbib punkte $A(1;2)$ ja $B(3;6)$. Tõus on

$$k=\frac{6-2}{3-1}=2.$$

Punkti-tõusu kuju annab

$$y-2=2(x-1),$$

seega $y=2x$ ehk üldkujul $2x-y=0$.

Ringjoone keskpunkt on $K(1;-2)$ ja raadius 3. Selle võrrand on

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9.$$

Ringjoone $x^2+y^2=25$ ja sirge $y=0$ lõikepunktid leiame asendades:

$$x^2=25,$$

seega lõikepunktid on $(-5;0)$ ja $(5;0)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on arvata, et $y=kx+b$ kirjeldab kõiki sirgeid. Vertikaalse sirge võrrand on $x=c$.

Teine tüüpviga on ringjoone keskpunkti märk valesti lugeda. Avaldises $(x-4)^2+(y+1)^2=9$ on keskpunkt (4;-1).

Kolmas tüüpviga on leida kahe joone lõikepunkt ainult ühe võrrandi järgi. Lõikepunkt peab rahuldama mõlemat võrrandit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta punkti (2;3) läbiva tõusuga 4 sirge võrrand punkti-tõusu kujul.
2. Kirjuta ringjoone võrrand, kui keskpunkt on (0;0) ja raadius 5.
3. Leia ringjoone $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ keskpunkt ja raadius.

Rakendus

1. Leia punkte (0;1) ja (2;5) läbiva sirge võrrand.
2. Kas sirged $y=2x+1$ ja $y=2x-3$ lõikuvad?
3. Leia sirge $y=x$ ja ringjoone $x^2+y^2=8$ lõikepunktid.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjuta punkti (1;2) läbiva sihivektoriga (3;1) sirge võrrand.
2. Leia sirge, mis läbib punkti (2;-1) ja on sirgega $y=\frac12x+4$ risti.
3. Selgita, miks sirgel ja ringjoonel võib olla 0, 1 või 2 lõikepunkti.

Vastused

1. $y-3=4(x-2)$.
2. $x^2+y^2=25$.
3. Keskpunkt on (2;-3) ja raadius 4.
4. $y=2x+1$; tõus on 2 ja algordinaat 1.
5. Ei. Sirgetel on sama tõus ja erinev algordinaat, seega on nad paralleelsed.
6. (2;2) ja (-2;-2), sest asendamisel saadakse $2x^2=8$.
7. $x-3y+5=0$, sest $1(x-1)-3(y-2)=0$.
8. $y+1=-2(x-2)$ ehk $y=-2x+3$; tõusude korrutis on -1.
9. Sirge võib jääda ringjoonest väljapoole, puutuda seda ühes punktis või läbida seda kahes punktis.

Seosed

Joonevõrrandid ühendavad vektorid, funktsioonid ja võrrandisüsteemid. X klassi lõpus saab sama joonist kirjeldada koordinaatide, vektori, sirge võrrandi ja trigonomeetria kaudu.