X klassi geomeetria ja trigonomeetria sild

Mõiste

X klassis liigub geomeetria jooniselt arvutuslikuks. Punktid, vektorid, koordinaadid ja trigonomeetria kirjeldavad sama ruumilist mõtet eri keeles.

Eeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, lugeda koordinaate ning eristada täisnurkse kolmnurga lähiskaatet, vastaskaatetit ja hüpotenuusi.

Trigonomeetria ei ole eraldi saar: see mõõdab nurkade ja pikkuste seoseid.

Valiku lihtne reegel: kui punktid on koordinaatidega antud, alusta koordinaatidest; kui antud on küljed ja nurgad, alusta kolmnurga seostest.

Näide

Punktid on $A(1;2)$ ja $B(5;5)$. Vektor punktist $A$ punkti $B$ on

$$\overrightarrow{AB}=(5-1;\ 5-2)=(4;\ 3).$$

Selle vektori pikkus on

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Kui vaatad sama olukorda täisnurkse kolmnurgana, siis lähiskaatet on 4, vastaskaatet 3 ja hüpotenuus 5.

Tõlgendus: koordinaatide vahe, vektori pikkus ja hüpotenuus kirjeldavad sama lõiku.

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45.$$

Sama lõiku sisaldava sirge tõus on $ rac34$ ja võrrand

$$y-2=\frac34(x-1),$$

ehk üldkujul $3x-4y+5=0$. Nii kirjeldavad vektor, kaugus, trigonomeetriline suhe ja sirge võrrand sama joonist eri küsimuste jaoks.

Tüüpviga

Tüüpviga on õppida vektoreid ja trigonomeetriat eraldi reeglitena. Sageli on need sama joonise kaks kirjeldust: vektor ütleb nihke, trigonomeetria seob selle nihke nurga ja pikkusega.

Teine tüüpviga on segada koordinaate ja vektori komponente. Punkt (5;5) on asukoht, vektor (4;3) on nihe.

Kolmas tüüpviga on arvutada nurga siinust vale nurga suhtes. Enne valemit märgi joonisel, milline külg on vaadeldava nurga vastas.

Neljas tüüpviga on ümardada liiga vara. Hoia vahetulemustes täpne juur või murd ning ümarda alles lõpus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia vektor punktist $A(2;1)$ punkti $B(7;4)$.
2. Leia selle vektori pikkus.

Rakendus

1. Kui täisnurkses kolmnurgas on kaatetid 5 ja 12, leia hüpotenuus.
2. Sama kolmnurga korral kirjuta vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 5.

Mõtlemisülesanne

1. Millal kasutaksid vektorit, millal sirge võrrandit ja millal täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat?
2. Selgita ühe lausega, miks vektor (a;b) tekitab täisnurkse kolmnurga.
3. Punktid $A(0;0)$ ja $B(6;8)$. Leia $\overrightarrow{AB}$ pikkus ja seos täisnurkse kolmnurgaga.
4. Miks peab trigonomeetriaülesandes enne arvutamist otsustama, millist nurka vaadeldakse?
5. Vektor on (8;6). Leia vektori pikkus ja vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 6.

Vastused

1. (5;3), sest lahutame lõpp-punktist alguspunkti koordinaadid.
2. $\sqrt{34}$, sest komponendid 5 ja 3 on täisnurkse kolmnurga kaatetid.
3. 13, sest $\sqrt{5^2+12^2}=13$.
4. $\frac5{13}$.
5. Vektorit kasuta nihke või suuna jaoks, sirge võrrandit joone kõigi punktide kirjeldamiseks ning trigonomeetriat nurga ja külgede suhte leidmiseks.
6. Komponendid $a$ ja $b$ on risti suundades ning vektor on hüpotenuus.
7. Vektor on (6;8) ja pikkus $\sqrt{6^2+8^2}=10$; komponendid on kaatetid.
8. Sama külg võib ühe nurga suhtes olla vastaskaatet, teise suhtes lähiskaatet.
9. Pikkus on $\sqrt{8^2+6^2}=10$ ja $\sin\alpha=\frac6{10}=\frac35$.

Klassi kordamine

Enne XI klassi liikumist kontrolli viit oskust:

1. Kas oskad kahest punktist moodustada vektori?
2. Kas oskad vektori pikkust leida Pythagorase teoreemiga?
3. Kas märgid enne siinust või koosinust vaadeldava nurga?
4. Kas oskad skalaarkorrutise abil kontrollida ristseisu?
5. Kas oskad kahest punktist koostada sirge võrrandi?

Segakontroll: punktid on $A(1;1)$ ja $B(7;9)$. Leia $\overrightarrow{AB}$, selle pikkus, teravnurga siinus, kui vastaskaatet on vektori teine komponent, ning punkte läbiva sirge võrrand.

Vastus: $\overrightarrow{AB}=(6;8)$, pikkus 10 ja $\sin\alpha=\frac8{10}=\frac45$, sest 8 on vastaskaatet. Sirge tõus on $ rac43$, seega $y-1=\frac43(x-1)$ ehk $4x-3y-1=0$.

Seosed

See sild ühendab koordinaatgeomeetria, vektorid, joonevõrrandid ja trigonomeetria. Järgmine õpiteekonna moodul viib sama arvutusliku mõtte funktsioonide muutumise ja analüüsi juurde.