Püramiid ja pöördkehade arvutused
Mõiste
Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.
Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.
Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.
| Keha | Täispindala | Ruumala |
|---|---|---|
| püramiid | $S=S_p+S_k$ | $V=\frac13S_ph$ |
| silinder | $S=2\pi r^2+2\pi rh$ | $V=\pi r^2h$ |
| koonus | $S=\pi r^2+\pi rs$ | $V=\frac13\pi r^2h$ |
| kera | $S=4\pi r^2$ | $V=\frac43\pi r^3$ |
Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.
Näide
Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:
$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$
Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on
$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$
Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala
$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$
Tüüpviga
Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.
Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
- Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
- Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.
Rakendus
- Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
- Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
- Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.
Mõtlemisülesanne
- Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
- Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
- Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?
Vastused
- Silindril kaks, koonusel üks põhi.
- $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
- $20\pi\text{ cm}^3$.
- $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
- $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
- $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
- $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
- Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
- Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.
Seosed
Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.