Pythagoras ja sarnasus

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Siin $c$ tähistab hüpotenuusi ehk täisnurga vastaskülge.

Eeldus: tunned täisnurkset kolmnurka ja sarnasust ning oskad arvutada ruutjuurt.

Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.

Sarnasustegur $k$ näitab, mitu korda on ühe kujundi vastavad pikkused teise omadest suuremad:

$$k=\frac{\text{uue kujundi külg}}{\text{algse kujundi vastav külg}}.$$

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, siis pindalad muutuvad $k^2$ korda.

Vastavate külgede leidmiseks:

1. leia võrdsed nurgad;
2. vaata, millised küljed on nende nurkade vastas;
3. pane samas rollis küljed ühte suhtesse;
4. kontrolli, et kõik suhted annaksid sama sarnasusteguri.

Kui kolmnurgad on kirjutatud kujul $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavus käib samas järjekorras:

Näide

Kui kaatetid on 6 ja 8, siis

$$c^2=6^2+8^2=100,$$

seega $c=10$.

Sarnasuse näide: kaks kolmnurka on sarnased. Väiksema kolmnurga külg on 4 cm ja vastav suurema kolmnurga külg 10 cm. Siis sarnasustegur väiksemalt suuremale on

$$k=\frac{10}{4}=2,5.$$

Kui väiksema kolmnurga pindala on $12\text{ cm}^2$, siis suurema kolmnurga pindala on

$$12\cdot2,5^2=12\cdot6,25=75\text{ cm}^2.$$

Vastavate külgede näide: olgu

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$$

kus $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ ning $DE=9$. Kuna $AB$ vastab küljele $DE$, on sarnasustegur

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=1,5.$$

Siis

$$EF=BC\cdot1,5=8\cdot1,5=12,$$

ja

$$DF=AC\cdot1,5=10\cdot1,5=15.$$

Vastus: suurem kolmnurk on külgedega 9, 12 ja 15; juhuslikult $BC$ ja $DE$ võrreldes saaks vale teguri.

Tüüpviga

Pythagorase teoreemi saab kasutada ainult täisnurkses kolmnurgas.

Sarnasuses tuleb võrrelda vastavaid külgi. Kõige tavalisem viga on võtta juhuslikult kaks külge, mis ei ole samas asendis. Vastavad küljed on nende võrdsete nurkade vastas või samas rollis kujundis.

Teine tüüpviga on pindala puhul kasutada tegurit $k$, kuigi pindala muutub teguriga $k^2$.

Kolmas tüüpviga on hüpotenuusi ja kaateti segiajamine Pythagorase teoreemis. Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg ja on kõige pikem külg.

Neljas tüüpviga on lugeda sarnaste kolmnurkade tippude järjekorda hooletult. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis $AB$ ei vasta küljele $EF$, vaid küljele $DE$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 5 ja 12. Leia hüpotenuus.
2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 13 ja üks kaatet 5. Leia teine kaatet.
3. Kaks kujundit on sarnased. Vastavad küljed on 6 cm ja 15 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
4. Kui sarnasustegur on 3, mitu korda muutub pindala?

Rakendus

1. Väikese kujundi pindala on 20 cm² ja sarnasustegur suuremale on 2. Leia suurema kujundi pindala.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab külg $BC$?
3. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, $AB=4$, $DE=10$ ja $BC=7$, leia $EF$.
4. Koolimaja ees oleva lipumasti vari on 9 m ja samal ajal 1,5 m pikkuse õpilase vari on 1 m. Kui kõrge on lipumast?

Mõtlemisülesanne

1. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 2,5 ja väiksema ümbermõõt on 18 cm, leia suurema ümbermõõt.
2. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 4, mitu korda on suurema kujundi pindala suurem?
3. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 ja üks kaatet 8. Leia teine kaatet.
4. Päästeameti redel ulatub 8 m kõrgusele, kui redeli alumine ots on seinast 6 m kaugusel. Kui pikk peab redel vähemalt olema?

Vastused

1. $13$, sest täisnurkses kolmnurgas $5^2+12^2=13^2$.
2. $12$, sest teine kaatet rahuldab $13^2-5^2=144$.
3. $k=\frac{15}{6}=2,5$.
4. $3^2=9$ korda.
5. $20\cdot2^2=80\text{ cm}^2$.
6. Küljele $EF$, sest vastavus käib järjekorras $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.
7. $k=\frac{10}{4}=2,5$, seega $EF=7\cdot2,5=17,5$.
8. Lipumast on $9\cdot1,5=13,5$ m kõrge; kasutatakse sarnaste kolmnurkade võrdelisi külgi.
9. $18\cdot2,5=45\text{ cm}$.
10. $4^2=16$ korda.
11. $b^2=10^2-8^2=100-64=36$, seega $b=6$.
12. $\sqrt{8^2+6^2}=10$ m.

Seosed

Pythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.