Sarnasus ja kaudne mõõtmine Matemaatika kiirreferents

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnastel kujunditel on sama kuju: vastavad nurgad on võrdsed ja vastavate külgede pikkused on võrdelised. Sarnasustegur näitab, mitu korda vastavad pikkused erinevad.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Sarnased kolmnurgad ja kaudne mõõtmine
Sarnasuse joonisel annavad sama päikesenurga all tekkinud varjud võrdelised kolmnurgad, mille abil saab tundmatu kõrguse kaudselt leida.
Kui jäid kinni

Kirjuta võrdesse ainult vastavad küljed. Märgi joonisel võrdsete nurkade juurde sama tähis ja loe kolmnurkade nimed samas järjekorras.

Õpetaja kontrollmõte

Lase õpilasel enne võrret vastavad tipud paaridesse kirjutada. Kaudses mõõtmises kontrolli, kas sarnasuse eeldus, näiteks sama päikesenurk või paralleelsed jooned, on nimetatud.

  • Miinimum: õpilane leiab sarnasusteguri.
  • Tavarada: õpilane leiab puuduva vastava külje.
  • Lisaväljakutse: õpilane koostab kaudse mõõtmise plaani ja nimetab mudeli eelduse.

Näide

1,5 m pikkuse mõõdulati vari on 2 m. Samal ajal on puu vari 8 m. Päikesekiired tekitavad sarnased kolmnurgad, seega

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: puu kõrgus on 6 m, eeldusel et mõlemat varju mõõdeti samal tasasel pinnal ja samal ajal.

Tüüpviga

Tüüpviga on panna võrdesse küljed, mis ei ole vastavas asendis.

Teine viga on järeldada sarnasust ainult selle põhjal, et kujundid paistavad sama kujuga. Vaja on sarnasuse tunnust.

Kolmas viga on kasutada pindala jaoks tegurit $k$. Pindala muutub teguriga $k^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
  2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
  3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

  1. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
  2. Posti vari on 6 m ja 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Leia posti kõrgus.
  3. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

  1. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
  2. Kirjelda, kuidas mõõta jõe laiust ilma jõge ületamata, kasutades nähtavaid punkte ja sarnaseid kolmnurki.
  3. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

  1. $k=10:4=2{,}5$.
  2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
  3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
  4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
  5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
  6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
  7. $12\cdot2^2=48$ cm².
  8. Märgi kaldal baaslõik ja sellega seotud vaatesuunad, konstrueeri kuival maal samade nurkadega väiksem kolmnurk ning kasuta vastavate külgede võrret.
  9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.