Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk Matemaatika kiirreferents

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk
Ringjoone joonisel on sama kaare kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem ning korrapärase hulknurga kesknurgad jagavad täispöörde võrdseteks osadeks.
Puutuja ning kolmnurga ümber- ja siseringjoon
Puutepunkti raadius on puutujaga risti; kolmnurga ümberringjoone keskpunkt leitakse külgede keskristsirgete ja siseringjoone keskpunkt nurgapoolitajate lõikepunktina.
Kui jäid kinni

Nurgaülesandes märgi esmalt kaar, millele nurk toetub. Konstruktsiooniülesandes küsi: kas otsin tippudest või külgedest võrdsel kaugusel olevat punkti?

Õpetaja kontrollmõte

Palu õpilasel nurga kõrval näidata toetatav kaar ning konstruktsiooni kõrval nimetada kasutatud sirged. Korrapärase hulknurga puhul alusta kesknurkadest ja apoteemi tekitatud kolmnurkadest, mitte valemi päheõppimisest.

  • Miinimum: õpilane leiab kesk- või piirdenurga ja tunneb ära puutuja.
  • Tavarada: õpilane valib sise- või ümberringjoone konstruktsiooni ning kasutab apoteemi.
  • Lisaväljakutse: õpilane kasutab mitut nurgaseost või konstruktsiooni omadust ühes põhjenduses.

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Tüüpviga

Tüüpviga on võrrelda nurki, mis ei toetu samale kaarele.

Teine viga on ajada segi kesk- ja piirdenurga tegur: kesknurk on kaks korda suurem, piirdenurk kaks korda väiksem.

Kolmas viga on arvata, et võrdsete külgedega hulknurk on alati korrapärane. Korrapärasel hulknurgal peavad võrdsed olema ka nurgad.

Neljas viga on arvata, et iga ringjoont puudutavana näiv sirge on puutuja. Puutepunkti raadius peab olema sirgega risti.

Viies viga on vahetada sise- ja ümberringjoone keskpunkti konstruktsioonid: siseringjoone jaoks kasutatakse nurgapoolitajaid, ümberringjoone jaoks külgede keskristsirgeid.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
  2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
  3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
  4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

  1. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
  2. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
  3. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
  4. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
  5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 6 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

  1. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
  2. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
  3. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
  4. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

  1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
  2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
  3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
  4. $90^\circ$.
  5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
  6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
  7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
  8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
  9. $S=40\cdot6:2=120$ cm².
  10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
  11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
  12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
  13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.