Geomeetriline definitsioon ja tõestus Matemaatika kiirreferents

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Eeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Mõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse algmõisteteks. Aksioom on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:

> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Teoreemi on mugav sõnastada kujul „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on eeldus ja „siis”-osa väide. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.

Ka aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.

Geomeetrilise tõestuse tööjärjekord:

  1. kirjuta antud andmed;
  2. sõnasta tõestada olev väide;
  3. märgi joonisele ainult teadaolev;
  4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;
  5. lõpeta otsese järeldusega.
Geomeetrilise tõestuse põhjendusahel
Geomeetrilise tõestuse joonisel liigub põhjendusahel antud tingimusest definitsiooni või teoreemi kaudu vaheväite ja tõestatava järelduseni.
Kui jäid kinni

Tee kahe veeruga mustand: vasakule „väide”, paremale „miks?”. Kui parempoolne lahter jääb tühjaks, on tõestuses veel auk.

Õpetaja kontrollmõte

Erista tunnis teadlikult definitsiooni, omadust ja joonisel paistvat oletust. Hinda tõestuses põhjuste nähtavust, mitte teksti pikkust.

  • Miinimum: õpilane sõnastab antu ja eesmärgi.
  • Tavarada: õpilane põhjendab lühikese tõestuse iga sammu.
  • Lisaväljakutse: õpilane leiab vigasest tõestusest põhjendamata sammu.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Vastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.

Teine näide: tõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Tõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Siin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.

Tüüpviga

Tüüpviga on kirjutada „jooniselt on näha”. Joonis aitab seost märgata, kuid tõestus peab nimetama definitsiooni, nurgaomaduse või teoreemi.

Teine viga on kasutada tõestatavat väidet tõestuse keskel põhjusena. Nii tekib ringpõhjendus.

Kolmas viga on ajada definitsioon ja omadus segi. Väide „ruudu kõik küljed on võrdsed” on osa ruudu definitsioonist; diagonaalide ristseis on sellest tuletatav omadus.

Neljas viga on ajada segi teoreemi eeldus ja väide. Teoreemi vastupidine suund ei kehti automaatselt ning vajab eraldi põhjendust.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
  2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
  3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

  1. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
  2. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
  3. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

  1. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
  2. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
  3. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Vastused

  1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.
  2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.
  3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.
  4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.
  5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\circ$.
  6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.
  7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\circ$.
  8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.
  9. Näiteks „$\alpha+\beta=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\beta+\gamma=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\alpha=\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.