Mis on tõestus?
Mõiste
Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.
Eeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.
Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.
Peamised tõestusviisid:
| Viis | Millal kasutada? | Mõte |
|---|---|---|
| otsene tõestus | kui eeldusest saab kohe järelduseni liikuda | alusta eeldusest ja arvuta või teisenda |
| vastunäide | kui tahad üldväidet ümber lükata | leia üks lubatud juht, kus väide ei kehti |
| vastuväiteline tõestus | kui otse on raske | eelda vastupidist ja jõua vastuoluni |
| kahe suuna tõestus | kui väites on "parajasti siis, kui" | tõesta mõlemad suunad eraldi |
| induktsioon | kui väide käib kõigi naturaalarvude kohta | tõesta algus ja samm järgmiseni |
Enne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?
Tõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.
Õpetaja kontrollmõte
Küsi: "Kas eesmärk on väide tõestada või ümber lükata ning miks valitud viis selleks piisab?" Nõua eelduste, lubatud juhtude hulga ja otsustava järeldussammu nimetamist; üks näide ei ole üldine põhjendus.
Näide
Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.
Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et
$$n=4k.$$
Aga
$$4k=2(2k).$$
Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.
Sama teema vastupidine väide ei kehti: "kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga" on väär, sest $6$ on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.
Tõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.
Tüüpviga
Tüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.
Teine tüüpviga on tõestada vale suunda. Väide "kui $P$, siis $Q$" ei tähenda sama mis "kui $Q$, siis $P$".
Kolmas tüüpviga on kasutada joonist tõestusena ilma põhjenduseta. Joonis võib anda vihje, aga arvutus või loogiline seos peab ütlema, miks asi alati kehtib.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
- Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".
Rakendus
- Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
- Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?
Mõtlemisülesanne
- Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
- Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
- Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?
Vastused
- Ei. Näiteks $8$ jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.
- Näiteks $-2$ on täisarv, aga ei ole positiivne.
- Kui $n=6k$, siis $n=3(2k)$; seega $n$ jagub 3-ga.
- Ei. Näiteks $9$ jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.
- Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.
- Otsest tõestust definitsiooni abil.
- Vastunäidet: $2$ on algarv, aga ei ole paaritu.
Seosed
See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".