Integraali rakendused

Mõiste

Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja $x$-telje vahel.

Eeldus: oskad leida algfunktsiooni, arvutada määratud integraali ja jälgida ühikuid.

Rakenduse tähenduse otsustavad küsimus ja ühikud: integraal võib anda nihke, teepikkuse, koguse või pindala.

Põhiseos

Kui $F'(x)=f(x)$, siis määratud integraal on arv:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Rakenduse tähendus sõltub ühikutest:

Integraali ühik on integreeritava suuruse ühik korrutatud muutuja ühikuga.

Enne arvutamist kirjuta üks lause: "integraal annab ..." ja lisa oodatav ühik.

Kui kiirus võib olla negatiivne, tuleb eristada:

$$\text{nihe}=\int_a^b v(t)\,dt,$$

aga

$$\text{teepikkus}=\int_a^b |v(t)|\,dt.$$

Nihe arvestab suunda. Teepikkus loeb kogu liikumise pikkuse kokku.

Kui liikumissuunaline jõud $F(x)$ sõltub asukohast, siis tehtud töö on

$$W=\int_a^b F(x)\,dx.$$

Konstantse jõu $F=12$ N korral 5-meetrisel teel on töö $W=12\cdot5=60$ J. Muutuva jõu korral liidab integraal lühikeste teelõikude tööd.

Näide

$$\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=9.$$

Näiteks kui keha kiirus on

$$v(t)=2t$$

meetrit sekundis ja aeg $t$ on sekundites, siis vahemikus [0;3] läbitud teepikkus on

$$\int_0^3 2t\,dt=9\text{ m}.$$

Kui tootmise hetkekiirus on $r(t)=50+10t$ toodet tunnis, siis esimese 4 tunni kogutoodang on

$$\int_0^4 (50+10t)\,dt=[50t+5t^2]_0^4=280.$$

Voolukiirus

$$q(t)=3+2t$$

liitrit minutis annab viie minutiga

$$\int_0^5 (3+2t)\,dt=[3t+t^2]_0^5=15+25=40\text{ l}.$$

Nihe ja teepikkus võivad erineda. Kui keha kiirus on

$$v(t)=t-2$$

vahemikus [0;4], siis nihe on

$$\int_0^4 (t-2)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_0^4=8-8=0.$$

Teepikkus kasutab absoluutväärtust:

$$\int_0^2 (2-t)\,dt+\int_2^4 (t-2)\,dt=2+2=4.$$

Vastus: tulemused on 9 m, 280 toodet ja 40 l; viimase liikumise nihe on 0, teepikkus 4.

Tüüpviga

Teljest allpool annab integraal negatiivse panuse. Pindala leidmisel võetakse osad positiivsena.

Teine tüüpviga on ühikuid mitte jälgida: $(\mathrm{m/s})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m}$ ja $(\mathrm{tk/h})\cdot\mathrm{h}=\mathrm{tk}$.

Kolmas tüüpviga on nimetada iga kiiruse integraali teepikkuseks. Kui kiirus on suunaga ja võib olla negatiivne, annab integraal nihke. Teepikkuse jaoks tuleb liita liikumise pikkused ilma märgita.

Neljas tüüpviga on unustada, et integraali rajad peavad vastama küsimusele. Kui küsitakse esimese 3 tunni kogust, ei tohi integreerida 0 kuni 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Mis on algfunktsioon funktsioonile $3x^2$?
3. Kuidas erinevad integraal ja geomeetriline pindala?

Rakendus

1. Auto kiirus on $v(t)=5t$ m/s. Kui pika tee läbib ta vahemikus 0 kuni 4 sekundit?
2. Tootmiskiirus on $r(t)=20$ tk/h. Mitu toodet valmib 3 tunniga?
3. Miks on rakendusülesandes ühikute jälgimine oluline?
4. Vee voolukiirus on $q(t)=4$ l/min. Kui palju vett lisandub 6 minutiga?

Mõtlemisülesanne

1. Tootmiskiirus on $r(t)=10+2t$ tk/h. Mitu toodet valmib esimese 3 tunniga?
2. Kiirus on $v(t)=t-1$ m/s vahemikus [0;2]. Leia nihe.
3. Sama kiiruse $v(t)=t-1$ korral leia teepikkus vahemikus [0;2], võrdle seda eelmise ülesande nihkega ja selgita erinevust.
4. Vee voolukiirus on $q(t)=6+t$ l/min. Leia nelja minutiga lisanduv veekogus ja tõlgenda ühikut.
5. Vedru venitamiseks vajalik jõud on $F(x)=20x$ njuutonit. Leia töö vahemikus $0\le x\le0{,}3$ m ja selgita integraali ühikut.

Vastused

1. $2$.
2. $x^3+C$.
3. Integraal on märgiga summa; geomeetriline pindala loeb kõik osad positiivsena.
4. $\int_0^4 5t\,dt=\frac52\cdot16=40$ m, sest $(m/s)\cdot s=m$.
5. $\int_0^3 20\,dt=60$ toodet.
6. Ühikud näitavad, kas tulemus on meeter, liiter, toodete arv või muu kogus.
7. $\int_0^6 4\,dt=24$ l.
8. $\int_0^3 (10+2t)\,dt=[10t+t^2]_0^3=39$ toodet.
9. $\int_0^2 (t-1)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_0^2=0$ m; see on nihe.
10. `$\int_0^1 (1-t)\,dt+\int_1^2 (t-1)\,dt=\frac12+

rac12=1$` m. Teepikkus on nihkest suurem, sest teepikkus liidab mõlemad liikumissuunad positiivsena, aga nihkes need tasakaalustavad teineteist.

11. $\int_0^4(6+t)\,dt=\left[6t+\frac{t^2}{2}\right]_0^4=32$ l; voolukiiruse ja aja korrutamisel saadakse veekogus.
12. $W=\int_0^{0{,}3}20x\,dx=[10x^2]_0^{0{,}3}=0{,}9$ J. Ühik on N·m, mis on üks džaul.

Seosed

Integraali rakendustes muutub määratud integraal mudeli vastuseks. See peatükk kasutab eelneva määratud integraali peatüki arvutusvõtteid ning viib edasi modelleerimise juurde: mida funktsioon mõõdab, mis on rajad ja millises ühikus vastus tuleb.