XII klassi eksamikordamine
Mõiste
Gümnaasiumi lõpus tuleb valida meetod, mitte ainult rakendada etteantud valemit. Ülesanne võib nõuda funktsiooni uurimist, tuletist, integraali, tõestust ja tõlgendamist.
Eeldus: oskad kasutada tuletist, määratud integraali, vastunäidet ja mudeli piirangute kirjeldamist.
Tähistus võib muutuda: $f(x)$, $v(t)$ ja $h(a)$ järgivad sama loogikat. Esimene täht nimetab seose, sulgudes olev on sisend.
Lahenduse miinimum:
- määratle muutuja ja ühikud;
- määra tingimused või määramispiirkond;
- kirjuta mudel või vajalik valem;
- näita arvutuse põhietapid;
- põhjenda, miks saadud vastus vastab küsimusele;
- tõlgenda vastus algses olukorras.
Kitsas ja lai matemaatika erinevad sügavuse ja tööriistade poolest.
| Fookus | Kitsas matemaatika | Lai matemaatika |
|---|---|---|
| arvutus | põhilised valemid ja tüüpvõtted | rohkem teisendusi ja kombineeritud võtteid |
| põhjendus | miks valitud valem sobib | miks meetod töötab ja millal eeldused kehtivad |
| mudel | lihtsam eluline mudel | mudeli piirangud, optimeerimine, tõestuslik kontroll |
Meetodi valikul küsi kõigepealt, mida otsitakse:
- muutumise kiirus või maksimum/miinimum: kasuta tuletist;
- kogunenud suurus või pindala: kasuta määratud integraali;
- üldine väide: tõesta või leia vastunäide;
- eluline olukord: pane kirja muutuja, ühikud ja mudeli piirangud.
Alusta siit
Kirjuta enne arvutust: tööriist, eeldus, kontroll. Tuletis, integraal, tõestus või mudel peab vastama küsimusele.
Näide
Funktsioon $f(x)=x^3-3x$. Leia kriitilised punktid.
Tuletis:
$$f'(x)=3x^2-3.$$
Kriitilised punktid tekivad, kui
$$3x^2-3=0.$$
Seega
$$x^2=1,$$
ja
$$x=-1\quad \text{või}\quad x=1.$$
Tõlgendus: kriitilised kohad on $x=-1$ ja $x=1$; seal on puutuja horisontaalne.
Kui küsitakse maksimumi või miinimumi, uuri märki, võrdle väärtusi või kasuta teist tuletist.
Tüüpviga
Tüüpviga on leida tuletis või integraal, aga jätta tähendus ütlemata. Eksamivastuses peaks arvutus lõppema tõlgendusega: maksimum, pindala, kogus, kiirus, tõestatud väide või mudeli piirang.
Teine tüüpviga on kasutada meetodit küsimust lugemata. Maksimumi jaoks sobib tuletis; kogunenud suuruse jaoks sobib integraal; üldväite jaoks on vaja tõestust või vastunäidet.
Kolmas tüüpviga on valida kohe kõige keerulisem võte. Enne pikka arvutust vaata, kas ülesanne küsib ainult meetodi äratundmist, hinnangut või vastunäidet.
Neljas tüüpviga on määramispiirkond lõppu jätta. Funktsiooni uurimisel ja mudelülesandes piiravad tingimused seda, millised kriitilised punktid või integraalipiirid üldse sobivad.
Õpetaja fookus
Küsi: "Miks meetod sobib?" Pärast: "Mida vastus tähendab ja kus kehtib?"
- Miinimum: õpilane valib meetodi, muutuja ja ühiku.
- Tavarada: õpilane põhjendab, lahendab ja kontrollib määramispiirkonda.
- Lisaväljakutse: õpilane võrdleb lahendust teise meetodi või kontrolliga.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ tuletis.
- Leia $\int_0^2 3x^2\,dx$.
- Millist meetodit kasutaksid pindala leidmiseks graafiku ja $x$-telje vahel?
Rakendus
- Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ kriitiline punkt.
- Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ vähim väärtus.
- Ülesanne küsib: "Millal on tootmiskulu kõige väiksem?" Mis on esimene matemaatiline tööriist, mida kaalud?
Mõtlemisülesanne
- Kiirus on $v(t)=4t$ m/s. Kui pikk tee läbitakse vahemikus 0 kuni 3 sekundit?
- Too vastunäide väitele “kui funktsiooni tuletis on ühes punktis 0, siis seal on alati maksimum”.
- Tootmiskiirus on $r(t)=12-2t$ tk/h vahemikus $0\le t\le4$. Leia toodang ja põhjenda, miks mudelit ei saa lõputult jätkata.
- Funktsiooni $f(x)=\frac{1}{x-2}$ uurimisel, mis tingimus tuleb enne arvutusi kirja panna?
- Miks võib mudeli kriitiline punkt olla matemaatiliselt õige, aga ülesande vastusena sobimatu?
Vastused
- $f'(x)=2x-6$.
- $\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8$.
- Määratud integraali, sest küsitakse pindala.
- $2x-6=0$, seega $x=3$.
- $f(3)=9-18+5=-4$, seega vähim väärtus on
-4. - Tuletist, sest otsitakse miinimumi.
- Teepikkus on $\int_0^3 4t\,dt=[2t^2]_0^3=18$ m.
- Näiteks $f(x)=x^3$: $f'(0)=0$, aga punktis 0 ei ole maksimumi ega miinimumi.
- $\int_0^4(12-2t)\,dt=32$ toodet. Pärast $t=6$ annaks mudel negatiivse tootmiskiiruse ja kaotaks tähenduse.
- $x\ne2$, sest nimetaja ei tohi olla null.
- See võib jääda mudeli lubatud vahemikust välja või anda elulises olukorras võimatu väärtuse.
Lõpuvalik
Viimane kontroll enne lahendamist:
- kui küsitakse muutumist või ekstreemumit, alusta tuletisest;
- kui küsitakse kogust või pindala, alusta integraalist;
- kui küsitakse “kas alati?”, alusta tõestusest või vastunäitest;
- kui tekst on eluline, alusta muutujast, ühikutest ja eeldustest.
- lõpuks tõlgi arv tagasi ülesande keelde.
Seosed
See kordamine seob analüüsi, tõestamise ja modelleerimise gümnaasiumi lõpu tervikoskuseks. Pärast seda jätkub detailsem ülevaatus funktsioonide, geomeetria, analüüsi, loogika ja modelleerimise referentsmoodulites.