Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

$\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
$\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
$\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
$\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

Arvuhulkade sisaldumine — Arvuhulgad sisalduvad üksteises: naturaalarvud täisarvudes, täisarvud ratsionaalarvudes ja ratsionaalarvud reaalarvudes.

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Arvtelg arvude järjestamiseks — Arvtelg aitab näha arvude järjestust ja kaugust nullist.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Tabel. Veerud: Arv, \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, Põhjus
Arv	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	Põhjus
$7$	jah	jah	jah	jah	naturaalarv
$-5$	ei	jah	jah	jah	täisarv ja $\frac{-5}{1}$
$\frac34$	ei	ei	jah	jah	kahe täisarvu jagatis
$0,25$	ei	ei	jah	jah	$0,25=\frac14$
$\sqrt2$	ei	ei	ei	jah	irratsionaalarv
$\pi$	ei	ei	ei	jah	irratsionaalarv

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Tüüpviga

Lõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.

Teine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks $\sqrt2$ on irratsionaalarv, aga $\sqrt9=3$ on naturaalarv.

Kolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv $7$ on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$.

Praktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks $-5$ algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.

Harjutused

Lihtne kontroll

Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

Too üks irratsionaalarvu näide.
Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
$0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
$\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
$\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.