Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Eeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Negatiivsed ja positiivsed arvud arvteljel — Arvteljel on negatiivsed arvud nullist vasakul ja positiivsed arvud nullist paremal.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Negatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:

Tabel. Veerud: Olukord, Tähendus
Olukord	Tähendus
temperatuur $-6^\circ\text{C}$	6 kraadi alla nulli
kontoseis $-12$ eurot	12 eurot võlga
korrus $-1$	üks korrus maapinnast allpool
muutus $-4$	vähenemine 4 võrra

Arvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:

positiivse arvu liitmine viib paremale;
negatiivse arvu liitmine viib vasakule;
lahutamine viib vastassuunas, sest $a-b=a+(-b)$.

Reeglid

Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.
Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

$$a-b=a+(-b).$$

Märgireeglid korrutamisel ja jagamisel:

Tabel. Veerud: Tehe, Tulemus
Tehe	Tulemus
$(+)\cdot(+)$ või $(+):(+)$	positiivne
$(+)\cdot(-)$ või $(+):(-)$	negatiivne
$(-)\cdot(+)$ või $(-):(+)$	negatiivne
$(-)\cdot(-)$ või $(-):(-)$	positiivne

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Miinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Temperatuuri näide: hommikul oli temperatuur $-7^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 5 kraadi:

$$-7+5=-2.$$

Pärastlõunal oli temperatuur $-2^\circ\text{C}$.

Raha näide: kui kontol on $-18$ eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on

$$-18+25=7.$$

Kui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis

$$7-10=-3,$$

ehk jääd 3 euroga miinusesse.

Sulgude avamine:

$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$

Negatiivse arvuga korrutamine:

$$-2(5-9)=-10+18=8.$$

Vastus: näidetes saadakse 5, -13, 36, $-2^\circ\text{C}$, 7 eurot, -3 eurot, 12 ja 8.

Tüüpviga

Avaldised $-3^2$ ja $(-3)^2$ on erinevad:

$$-3^2=-9,\qquad (-3)^2=9.$$

Teine tüüpviga on miinusmärgi kaotamine sulgude ees:

$$10-(4+3)\ne10-4+3.$$

Õige on

$$10-(4+3)=10-4-3=3.$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et suurem absoluutväärtus tähendab alati suuremat arvu. Tegelikult

$$-12< -3,$$

sest $-12$ asub arvteljel rohkem vasakul. Külma ilma näites on $-12^\circ\text{C}$ külmem kui $-3^\circ\text{C}$.

Neljas tüüpviga on lugeda avaldist $12-(-5)$ kui "12 miinus 5". Sulgudes olev miinus kuulub arvule -5; selle arvu lahutamine tähendab liikumist paremale.

Harjutused

Lihtne kontroll

Arvuta $-7+12$.
Arvuta $-6\cdot4$.
Arvuta $(-6)\cdot(-4)$.
Ava sulud ja lihtsusta: $15-(8-5)$.

Rakendus

Ava sulud ja lihtsusta: $-3(2-7)$.
Hommikul oli temperatuur $-9^\circ\text{C}$. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?
Kontol on $-15$ eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?

Mõtlemisülesanne

Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?
Kumb arv on suurem: $-4$ või $-11$? Põhjenda arvtelje abil.
Arvuta $12-(-5)$ ja selgita, miks vastus suureneb.
Poe kassa seis muutus hommikul -20 eurost õhtuks 35 euroni. Kui suur oli muutus?

Vastused

$5$, sest arvust -7 liigud 12 sammu paremale.
$-24$.
$24$.
$15-8+5=12$.
$-6+21=15$.
$-9+6=-3^\circ\text{C}$.
$-15+40=25$ eurot.
$3-8=-5$.
$-4$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
$12-(-5)=12+5=17$. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.
Muutus oli $35-(-20)=55$ eurot.

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.