Tehted ratsionaalarvudega

Mõiste

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Eeldus: oskad harilikke murde taandada, laiendada ja võrrelda ning tunned negatiivsete arvude märgireegleid.

Arvutamisel vali kuju, mis teeb tehte lihtsaks:

• harilike murdude liitmisel ja lahutamisel leia ühine nimetaja;
• lõplike kümnendmurdude puhul võib olla mugavam arvutada kümnendkujul;
• jagamisel asenda jagamine pöördarvuga korrutamisega;
• kui arvud on eri kujul, teisenda need enne tehet samasse sobivasse kujusse.

Kõiki harilikke murde ei saa kirjutada lõpliku kümnendmurruna. Näiteks $\frac13=0,333\ldots$, seega on täpses arvutuses sageli parem jätta vastus hariliku murruna.

Reeglid

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Kahe arvu kaugus arvteljel on nende vahe absoluutväärtus:

$$d(a,b)=|a-b|.$$

Enne täpset arvutust hinda vastuse märki ja suurust. Näiteks $-2,9+1,1$ peab olema negatiivne ning ligikaudu $-2$.

Näide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Leidkem arvude $-2,5$ ja $1,25$ vaheline kaugus:

$$|-2,5-1,25|=|-3,75|=3,75.$$

Vastus: $\frac1{12}$, $-4$, $\frac56$ ja $3,75$.

Tüüpviga

Murdude nimetajaid ei liideta:

$$\frac12+\frac13\ne\frac25.$$

Õige on kasutada ühist nimetajat:

$$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56.$$

Teine tüüpviga on märgi otsustamine enne jagamist valesti. Arvude absoluutväärtused annavad $1,2:0,3=4$, aga eri märgid annavad negatiivse vastuse $-4$.

Kolmas tüüpviga on teha liitmine enne korrutamist:

$$-2+3\cdot4=-2+12=10,$$

mitte $4$.

Neljas tüüpviga on ümardada vahetulemusi liiga vara. Kui täpne murd on olemas, hoia seda võimalikult kaua ja ümarda alles lõppvastus ülesandes nõutud järguni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-\frac25+\frac3{10}$.
2. Arvuta $-1,8+0,65$.
3. Arvuta $\frac34:\left(-\frac12\right)$.
4. Arvuta $-2+5\cdot(-3)$.

Rakendus

1. Arvuta $2\frac14-\frac56$.
2. Leia arvude $-3,2$ ja $1,7$ vaheline kaugus arvteljel.
3. Hommikul oli temperatuur $-4,5^\circ\text{C}$ ja see tõusis $6,8^\circ\text{C}$. Leia uus temperatuur.
4. Kontoseis oli $-12,50$ eurot. Kontole laekus $30$ eurot ja seejärel tasuti $8,75$ eurot. Leia uus kontoseis.

Mõtlemisülesanne

1. Kumb on suurem: $-\frac58$ või $-0,6$? Põhjenda teisendamisega.
2. Arvuta $\left(-\frac23+\frac12\right):\frac5{12}$.
3. Leia viga arvutuses $-3+2\cdot(-4)=(-1)\cdot(-4)=4$ ja kirjuta õige lahendus.
4. Koosta avaldis, mille väärtus on $-2$ ning milles on üks negatiivne murd ja üks kümnendmurd.

Vastused

1. $-\frac25+\frac3{10}=-\frac4{10}+\frac3{10}=-\frac1{10}$.
2. $-1,15$, sest $1,8-0,65=1,15$ ja suurema absoluutväärtusega arv on negatiivne.
3. $\frac34\cdot(-2)=-\frac32=-1\frac12$.
4. $-2-15=-17$; korrutamine tehakse enne liitmist.
5. $\frac94-\frac56=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}$.
6. $|-3,2-1,7|=|-4,9|=4,9$ ühikut.
7. $-4,5+6,8=2,3^\circ\text{C}$.
8. $-12,50+30-8,75=8,75$ eurot.
9. $-0,6=-\frac35=-\frac{24}{40}$ ja $-\frac58=-\frac{25}{40}$; seega $-0,6$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $\left(-\frac46+\frac36\right):\frac5{12}=-\frac16\cdot\frac{12}{5}=-\frac25$.
11. Korrutamine tuleb teha enne liitmist: $-3+2\cdot(-4)=-3-8=-11$.
12. Näiteks $-\frac52+0,5=-2$. Võimalikke õigeid vastuseid on palju.

Seosed

Ratsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.