Murrud ja kümnendmurrud

Mõiste

Murd kirjeldab osa tervikust:

$$\frac{a}{b},$$

kus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja. Nimetaja ei tohi olla 0.

Eeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.

Samaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:

$$\frac12=\frac24=\frac48.$$

Neid võib mõelda sama punktina arvteljel või sama osana tervikust. Kui jagad pitsa kaheks ja võtad ühe osa, on see sama suur osa kui jagada sama pitsa neljaks ja võtta kaks osa.

Kontrolli pildilt: kui osa on sama, peavad murd, kümnendmurd ja protsent andma sama väärtuse.

Reeglid

Murdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.

$$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48.$$

Murdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$

Suurima ühisteguriga taandades saad kohe lihtsaima kuju.

Samanimelisi murde liidetakse lugejate kaudu:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad ja nimetajad:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$

Erinimeliste murdude liitmisel ja võrdlemisel vii murrud ühisele nimetajale.

$$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46,\qquad \frac12<\frac23.$$

Murru saab kirjutada kümnendmurruna jagades lugeja nimetajaga:

$$\frac14=0,25.$$

Mõnikord tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd:

$$\frac13=0,333\ldots,\qquad \frac16=0,1666\ldots.$$

Kümnendkujuks teisendamisel on hea kontrollida suurusjärku. Kui murd on väiksem kui 1, peab ka kümnendmurd olema väiksem kui 1. Kui $\frac34$ kirjutatakse kogemata $7,5$, on vastus kohe kahtlane, sest $\frac34$ on alla ühe terviku.

Näide

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

Võrdleme murde $\frac34$ ja $\frac57$. Ühine nimetaja on $28$:

$$\frac34=\frac{21}{28},\qquad \frac57=\frac{20}{28}.$$

Seega

$$\frac34>\frac57.$$

Kümnendkujuga kontroll:

$$\frac34=0,75,\qquad \frac57\approx0,714.$$

See kinnitab sama tulemust. Kontrolliks ei pea alati pikka jagamist tegema; vahel piisab ühise nimetaja kaudu saadud vastuse võrdlemisest lihtsa hinnanguga.

Vastus: summa on $\frac56$ ja võrdluses on $\frac34>\frac57$.

Tüüpviga

Murde ei liideta nii:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}.$$

Kõigepealt tuleb leida ühine nimetaja.

Teine tüüpviga on arvata, et lõpmatu kümnendmurd ei saa olla harilik murd. Kui kümnendmurd on perioodiline, siis ta on ratsionaalarv. Näiteks

$$0,333\ldots=\frac13.$$

Kolmas tüüpviga on võrrelda kümnendmurde ainult esimese numbri järgi. Arv $0,7$ ja arv $0,70$ on võrdsed, sest lõppu lisatud null ei muuda väärtust. Aga $0,7<0,75$, sest seitsme kümnendiku järel on teisel arvul veel viis sajandikku.

Neljas tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtus jääb samaks ainult siis, kui jagad mõlemad sama nullist erineva arvuga.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Murd on piltlikult osa tervikust, arvuliselt jagatis ja algebraliselt võrdsete osade suhe. Näiteks $\frac12$, $0,5$ ja $\frac48$ kirjeldavad sama väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Laienda murdu $\frac35$ nimetajani $20$.
2. Taanda murd $\frac{18}{24}$.

Rakendus

1. Võrdle murde $\frac56$ ja $\frac78$.
2. Kirjuta $\frac18$ kümnendmurruna.

Mõtlemisülesanne

1. Millise hariliku murruga võrdub $0,333\ldots$?
2. Kumb on suurem: $\frac34$ või $0,7$?
3. Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\frac23$.
4. Kirjuta $0,125$ hariliku murruna ja taanda.
5. Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\frac{7}{10}$ või $\frac23$.
6. Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.

Vastused

1. $\frac35=\frac{12}{20}$.
2. $\frac{18}{24}=\frac34$.
3. $\frac56=\frac{20}{24}$ ja $\frac78=\frac{21}{24}$, seega $\frac56<\frac78$.
4. $\frac18=0,125$.
5. $0,333\ldots=\frac13$.
6. $\frac34=0,75$, seega $\frac34$ on suurem.
7. Näiteks $\frac23=\frac46=\frac69=\frac8{12}$.
8. $0,125=\frac{125}{1000}=\frac18$.
9. $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ ja $\frac23=\frac{20}{30}$, seega $\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0,7>0,666\ldots$.
10. $\frac34=0,75=75\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.

Seosed

Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.