Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur Matemaatika kiirreferents

Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, millel on täpselt kaks jagajat: 1 ja arv ise.

Eeldus: oskad naturaalarve korrutada ja jagada ning saad aru, et jagamisel võib tekkida jääk.

Põhireeglid

Suurim ühistegur SÜT on suurim arv, millega kõik antud arvud jaguvad. Vähim ühiskordne VÜK on vähim positiivne arv, mis jagub kõigi antud arvudega.

Küsimus Kasuta Mõte
Kui suureks võrdseks osaks saab jagada? SÜT ühine tegur
Millal korduvad sündmused kokku langevad? VÜK ühine kordne

Näiteks 18 punase ja 30 sinise kommi võimalikult paljudeks ühesugusteks pakkideks jagamisel kasutame SÜT-i. Kahe kella 18- ja 30-minutilise kordumise kokkulangemisel kasutame VÜK-i.

Algteguriteks lahutamine

Algteguriteks lahutamine kirjutab arvu algarvude korrutisena.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Algtegurid aitavad leida nii SÜT-i kui ka VÜK-i:

Näide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Algarv Arvus 24 Arvus 36 SÜT jaoks VÜK jaoks
$2$ $2^3$ $2^2$ $2^2$ $2^3$
$3$ $3^1$ $3^2$ $3^1$ $3^2$

Seega võtab SÜT ainult ühise osa:

$$2^2\cdot3=12,$$

aga VÜK võtab kõik vajaliku, et arv jaguks mõlemaga:

$$2^3\cdot3^2=72.$$

Kui 24 ja 36 õuna jagada võimalikult paljudeks ühesugusteks kingikottideks, saab teha 12 kotti. Kui kaks bussi väljuvad iga 24 ja 36 minuti järel, kohtuvad nende väljumised taas iga 72 minuti järel.

Vastus: SÜT=12 ja VÜK=72.

Eukleidese algoritm

Kahe arvu SÜT-i saab leida jääke võttes. See aitab suurte arvudega.

Näiteks leiame SÜT(84,30):

$$84=2\cdot30+24$$

$$30=1\cdot24+6$$

$$24=4\cdot6+0.$$

Viimane nullist erinev jääk on $6$, seega

$$SÜT(84,30)=6.$$

Jaguvuse kontroll: 372 jagub 4-ga ja 6-ga; 729 jagub 9-ga.

Tüüpviga

Arv 1 ei ole algarv. Algarvul peab olema täpselt kaks jagajat.

Teine tüüpviga on ajada segi SÜT ja VÜK. SÜT ei saa olla suurem kui väikseim antud arv. VÜK ei saa olla väiksem kui suurim antud arv.

Kolmas tüüpviga on võtta VÜK-i leidmisel ainult ühised tegurid. Siis ei pruugi saadud arv mõlemaga jaguda.

Neljas tüüpviga on kasutada vale jaguvusreeglit. Ristsumma aitab 3 ja 9 korral, aga ei ütle otse, kas arv jagub 4 või 8-ga.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia, kas 372 jagub 3-ga.
  2. Lahuta arv 84 algteguriteks.
  3. Leia SÜT(18, 30).
  4. Leia VÜK(18, 30).

Rakendus

  1. Leia Eukleidese algoritmiga SÜT(105, 45).
  2. Leia SÜT(24, 40) ja selgita, mida see võiks tähendada võrdsete pakkide tegemisel.
  3. Leia VÜK(12, 18) ja selgita, mida see võiks tähendada kahe korduva sündmuse korral.

Mõtlemisülesanne

  1. Lahuta arvud 48 ja 60 algteguriteks ning leia tabeli abil SÜT ja VÜK.
  2. Kas 1 on algarv? Põhjenda.
  3. Leia viga: õpilane ütleb, et SÜT(16,24)=48, sest 48 jagub nii 16 kui 24-ga.
  4. Leia SÜT(42,56) ja kasuta seda murru $\frac{42}{56}$ taandamiseks.

Vastused

  1. Jah, sest $3+7+2=12$ ja $12$ jagub 3-ga.
  2. $84=2^2\cdot3\cdot7$.
  3. $SÜT(18,30)=6$.
  4. $VÜK(18,30)=90$, sest 90 jagub nii 18 kui ka 30-ga.
  5. $105=2\cdot45+15$, $45=3\cdot15+0$, seega $SÜT(105,45)=15$.
  6. $24=2^3\cdot3$, $40=2^3\cdot5$, seega $SÜT(24,40)=8$. Saab teha 8 ühesugust pakki: igas 3 ja 5 eset.
  7. $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, seega $VÜK(12,18)=36$. Sündmused langevad uuesti kokku 36 ühiku järel.
  8. $48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, $SÜT=2^2\cdot3=12$, $VÜK=2^4\cdot3\cdot5=240$.
  9. Ei. Arvul 1 on ainult üks positiivne jagaja: 1.
  10. 48 on ühiskordne, mitte ühistegur. SÜT peab jagama mõlemat arvu ja ei saa olla suurem kui 16. Õige vastus on 8.
  11. SÜT(42,56)=14, seega $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$.

Seosed

Jaguvus ja SÜT on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.