Naturaalarvud ja tehted

Mõiste

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Eeldus: oskad arve loendada, võrrelda, kirjutada kümnendsüsteemis ning tunned liitmist ja lahutamist.

Tehete järjekord

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

1. sulud;
2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Võid mõelda nii:

1. Kas avaldises on sulud? Kui jah, arvuta kõigepealt sulgudes olev osa.
2. Kas alles on korrutamist või jagamist? Arvuta need vasakult paremale.
3. Kas alles on liitmist või lahutamist? Arvuta need vasakult paremale.

Oluline: korrutamine ei ole alati enne jagamist. Need on samal tasemel ja käivad vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.

Näide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Avaldises

$$24:3\cdot2$$

on jagamine ja korrutamine samal tasemel, seega liigume vasakult paremale:

$$24:3\cdot2=8\cdot2=16.$$

Tekstülesandes küsi enne arvutamist, mis kordub ja mis lisandub. Näiteks: 4 õpilast ostavad 6-eurose pileti ja klass maksab 3 eurot broneerimistasu. Kogukulu on

$$4\cdot6+3=24+3=27.$$

Kui broneerimistasu oleks iga õpilase kohta, oleks avaldis

$$4\cdot(6+3)=4\cdot9=36.$$

Vastus: 27 eurot või 36 eurot.

Tüüpviga

Tehete järjekord ei ole kõigi tehete puhul vasakult paremale. Näiteks

$$8+3\cdot5\ne(8+3)\cdot5.$$

Sulgude puudumine võib muuta tähendust. Kui öeldakse "liida 8 ja 3 ning korruta tulemus 5-ga", kirjuta

$$(8+3)\cdot5.$$

Kontrollimiseks on mitu lihtsat võtet:

• tee ligikaudne hinnang, kas vastus on mõistliku suurusega;
• pane vastus tagasi tekstülesandesse ja loe, kas ühikud sobivad;
• kontrolli pöördtehtega: kui $37-12=25$, siis $25+12=37$;
• jaga pikk avaldis vaheastmeteks, et üks arvutusviga ei peituks rea sees.

Näiteks “5 lauda, iga laua juures 4 tooli ja õpetaja tool” mudel on $5\cdot4+1=21$, mitte $5\cdot(4+1)$.

Teine viga on jagamise tähendust mitte kontrollida. $24:6=4$ võib tähendada 24 asja jaotamist 6 rühma vahel või 6-kaupa rühmade arvu leidmist. Vastus on sama, ühik võib erineda.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $7+4\cdot6$.
2. Arvuta $(7+4)\cdot6$.
3. Pane sulud nii, et avaldise $12+8:4$ väärtus oleks $5$.
4. Klassiruumis on 5 lauda ja iga laua juures 4 tooli. Lisaks on õpetaja tool. Mitu tooli on kokku?

Rakendus

1. Arvuta $36:6\cdot3$.
2. Arvuta $36:(6\cdot3)$.
3. Poes ostetakse 3 vihikut hinnaga 2 eurot ja üks pliiats hinnaga 1 euro. Koosta avaldis ja arvuta summa.

Mõtlemisülesanne

1. Bussis on 4 rida, igas reas 2 istekohta. Järgmises peatuses tuleb juurde 5 reisijat. Kui palju inimesi mahuks nendele kohtadele ja juurde tulnud reisijatele kokku, kui kõik kohad olid enne vabad?
2. Leia viga: õpilane arvutas $20-6+2=20-8=12$.
3. Koosta lühike tekstülesanne avaldisele $3\cdot(8+2)$.
4. Kirjuta kaks erinevat olukorda, mida saab arvutada tehtega $24:6$: üks jaotamise, teine "mitu korda mahub" tähenduses.

Vastused

1. $31$.
2. $66$.
3. $(12+8):4=5$.
4. $5\cdot4+1=21$, sest õpetaja tool lisandub üks kord.
5. $18$, sest jagamine ja korrutamine käivad vasakult paremale.
6. $2$, sest sulgudes olev korrutis tehakse enne jagamist.
7. $3\cdot2+1=7$ eurot; pliiatsi hind lisandub üks kord.
8. $4\cdot2+5=13$, sest istekohti on 8 ja reisijaid lisandub 5.
9. Liitmine ja lahutamine on samal tasemel ning käivad vasakult paremale: $20-6+2=14+2=16$.
10. Näiteks: kolmel õpilasel on igaühel 8 vihikut ja 2 töölehte. Kokku on $3\cdot(8+2)=30$ eset.
11. Näiteks: 24 kommi jaotatakse 6 lapse vahel, iga laps saab 4 kommi. Või: 24 kommi pannakse 6 kaupa kottidesse, vaja on 4 kotti.

Seosed

Naturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.