Astmed, juured ja standardkuju Matemaatika kiirreferents

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Aste $a^n$ tähendab, et arvu $a$ korrutatakse iseendaga $n$ korda. Ruutjuur $\sqrt a$ on arv, mis ruutu tõstes annab $a$; märgi $\sqrt{\ }$ all peetakse silmas positiivset või nulliga võrdset vastust.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

VII klassi põhitee on naturaalarvulise astendajaga aste, tehete järjekord, arvu kümme positiivsed ja negatiivsed astmed ning standardkuju. Ruutjuur ja üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade, mida kasutatakse järgmistes klassides rohkem.

Reeglid

Reegel Näide
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $2^3\cdot2^4=2^7$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, kui $a\ne0$ $\frac{5^6}{5^2}=5^4$
$(a^m)^n=a^{mn}$ $(3^2)^4=3^8$
$(ab)^n=a^n b^n$ $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3$
$a^0=1$, kui $a\ne0$ $7^0=1$
$a^{-n}=\frac1{a^n}$, kui $a\ne0$ $10^{-3}=\frac1{10^3}=0,001$

Standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Standardkujus on arv kirjutatud nii, et esimene tegur on vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Astendaja näitab, mitu kohta koma liigub.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

  1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
  2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
  3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
  4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.
Tavakuju Koma nihkub Standardkuju
$72\,000\,000$ 7 kohta vasakule $7,2\cdot10^7$
$4500$ 3 kohta vasakule $4,5\cdot10^3$
$0,00045$ 4 kohta paremale $4,5\cdot10^{-4}$
$0,082$ 2 kohta paremale $8,2\cdot10^{-2}$

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga sama suurusjärku? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Tüüpviga

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus on tavaline komaviga panna astendajale vale märk:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
  2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
  3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
  4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

  1. Leia $\sqrt{81}$.
  2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
  3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
  4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

  1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
  2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
  3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
  4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

  1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
  2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
  3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
  4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
  5. $9$, sest $9^2=81$.
  6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
  7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
  8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
  9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
  10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
  11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
  12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.