Hulkliikmed ja tegurdamine
Mõiste
Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises
$$3x^2-5x+7$$
on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.
Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.
Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis
$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$
Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.
Tegurdamine ei muuda avaldise väärtust, vaid kuju: sama avaldis kirjutatakse nii, et tegurid oleksid nähtavad.
Põhitehted
Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:
$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$
Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.
Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:
$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$
Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:
$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$
Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:
$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$
Abivalemid
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
Korrutamisel kasutatakse samu valemeid teises suunas. Näiteks
$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$
Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:
$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$
Tegurdamise valik
Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:
- Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
- Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?
Valikupuu tabelina:
| Mida märkan? | Proovin | Näide |
|---|---|---|
| kõigil liikmetel on sama tegur | ühine tegur sulgude ette | $8x^2+12x=4x(2x+3)$ |
| kaks ruutu ja miinus | ruutude vahe | $x^2-49=(x-7)(x+7)$ |
| kolm liiget, esimene ja viimane on ruudud | täisruut | $x^2+12x+36=(x+6)^2$ |
Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.
Ühine tegur:
$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$
Näide
Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:
$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$
Algne avaldis annab $x=2$ korral $24, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.
Jagamise näide:
$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$
Tegurdamise näide:
$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$
Täisruudu näide:
$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$
Abivalemi äratundmine:
$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$
Täisruudu kontroll:
$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$
Vastus: lihtsustatud avaldis on $x^2+10x$, jagatis $3x^2+2x-1$ ning tegurdatud kujud $(x-5)(x+5)$, $(x-5)^2`, `$(3x-5)(3x+5) ja $(2x+3)^2$.
Tüüpviga
$$(a+b)^2\ne a^2+b^2.$$
Keskmine liige $2ab$ ei tohi kaduda.
Teine tüüpviga on muuta miinusmärgiga sulgude avamisel ainult esimese liikme märki:
$$5x-(2x-3)=5x-2x+3=3x+3.$$
Kolmas tüüpviga on jagada üksliikmega ainult hulkliikme esimene liige. Jagada tuleb iga liige.
Neljas tüüpviga on ühise teguri välja võtmisel mõni liige vahele jätta. Näiteks
$$4x^2+8x=4x(x+2),$$
mitte $4x(x)+8x$.
Viies tüüpviga on ruutude vahe valemit kasutada plussmärgiga:
$$x^2+25$$
ei tegurdu reaalarvudes kujule $(x-5)(x+5), sest see annaks $x^2-25$.
Pärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
- Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
- Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
- Korruta $3x(2x^2-x+4)$.
Rakendus
- Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
- Korruta $(x+4)(x-2)$.
- Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
- Tegurda $5x^2+10x$.
Mõtlemisülesanne
- Tegurda $9x^2-1$.
- Tegurda $x^2-14x+49$.
- Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
- Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.
Vastused
- Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
- $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
- $3x^2-2x+1-x^2-4x+5=2x^2-6x+6$.
- $6x^3-3x^2+12x$.
- $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
- $x^2+2x-8$.
- $x^2-10x+25$.
- $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
- $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
- $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
- $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
- Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.
Seosed
Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.