Ruutvõrrand

Mõiste

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad võrrandeid lahendada, kasutada korrutamise abivalemeid, tuua ühise teguri sulgude ette ja rakendada nullkorrutise reeglit.

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Sama ruutmudelit saab vaadata kolmel kujul: ruutavaldis $ax^2+bx+c$ on arvutuskuju, ruutvõrrand $ax^2+bx+c=0$ küsib nullkohti ja ruutfunktsioon $f(x)=ax^2+bx+c$ näitab neid graafikul.

Lahendivalem

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Diskriminant ütleb, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on:

Miks lahendivalem töötab?

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Selleks muudame alguses liikmed $ax^2$ ja $bx$ täisruuduks. Idee on lihtne: liidame ja lahutame sama lisaliikme, et võrrandi väärtus ei muutuks, aga tekiks tuttav ruudu valem.

Alustame üldkujust:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Kuna $a\ne0$, jagame võrrandi kõik liikmed arvuga $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd liidame ja lahutame vasakul poolel sama lisaliikme $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Võrrand ei muutu, sest lisame kokku nulli:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd kirjutame esimesed kolm liiget täisruuduna:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Viime ülejäänud liikmed paremale poole:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$

Parema poole võib kirjutada ühise nimetajaga:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Võtame ruutjuure. Ruutjuurel on kaks märki:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Viime liikme $\frac{b}{2a}$ teisele poole:

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

See ongi ruutvõrrandi lahendivalem.

Miks täisruudu samm töötab? Korrutamise abivalem ütleb:

$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$

Kui $p=\frac{b}{2a}$, siis

$$2px=2\cdot\frac{b}{2a}x=\frac{b}{a}x.$$

Seepärast ongi

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$

Näide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.$$

Seega

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=-2.$$

Kui

$$x^2+4x+4=0,$$

siis

$$D=4^2-4\cdot1\cdot4=0,$$

ja võrrandil on üks kahekordne lahend:

$$x=\frac{-4}{2}=-2.$$

Vastus: esimese võrrandi lahendid on 2 ja 3, teise lahendid $\frac12$ ja -2, kolmandal on kahekordne lahend -2.

Tüüpviga

Kui korrutis on null, siis vähemalt üks tegur on null. See reegel ei kehti summa kohta.

Teine tüüpviga on diskriminandi märgi eiramine. Kui $D<0$, siis ruutjuure all on negatiivne arv ja reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Kolmas tüüpviga on koefitsiendid valesti lugeda. Enne valemi kasutamist kirjuta võrrand üldkujule $ax^2+bx+c=0$ ja kanna märgid kaasa.

Neljas tüüpviga on ruutjuure võtmisel unustada kaks võimalust: $\sqrt{9}=3$, aga võrrandist $x^2=9$ tuleb $x=\pm3$.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Ruutvõrrandit saab lahendada tegurdamisega, täisruudu eraldamisega või valemiga. Graafikul on samad lahendid nullkohad.

Kui jäid kinni

Korda enne lineaarvõrrandi lahendamist, tegurdamist ja nullkorrutise reeglit. Vaata näitest, kuidas kordajad $a$, $b$, $c$ kõigepealt kirja pannakse. Alusta harjutustest 1 ja 2; kui need on kindlad, kasuta lahendivalemit ülesandes 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda tegurdamisega $x^2-7x+12=0$.
2. Leia diskriminant võrrandil $x^2-6x+9=0$.

Rakendus

1. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2+1=0$?
2. Lahenda valemiga $x^2+x-6=0$.

Mõtlemisülesanne

1. Mida tähendab $D=0$ ruutfunktsiooni graafikul?
2. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2-4x+4=0$?
3. Lahenda $2x^2-8=0$.
4. Kirjuta võrrandi $3x^2-12x=0$ kordajad $a$, $b$, $c$ ja lahenda tegurdamisega.

Vastused

1. $(x-3)(x-4)=0$, seega $x=3$ või $x=4$; kontrolliks teeb kumbki tegur ühe lahendi korral nulliks.
2. $D=36-36=0$, seega on üks kahekordne lahend.
3. Mitte ühtegi reaalarvulist lahendit, sest $x^2$ ei saa olla -1.
4. Lahenduskäik: siin $a=1$, $b=1$, $c=-6$, seega $D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. Siis $x=\frac{-1\pm5}{2}$, seega $x=2$ või $x=-3$.
5. Parabool puutub $x$-telge ühes punktis. Lahenduskäik: $D=0$ tähendab, et ruutjuure osa lahendivalemis on 0 ja kaks lahendit langevad kokku.
6. Üks, sest $x^2-4x+4=(x-2)^2$ ja sama tegur kordub.
7. $2x^2=8$, seega $x^2=4$ ja $x=\pm2$; kontrolliks mõlemal juhul $2x^2=8$.
8. $a=3$, $b=-12$, $c=0$. $3x^2-12x=3x(x-4)=0$, seega $x=0$ või $x=4$.

Seosed

Järgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.