Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.

Reegel

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

$$-2x<6 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

Vahemikud

• $[a;b]$ sisaldab otspunkte.
• $(a;b)$ ei sisalda otspunkte.
• $[a;b)$ sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.
• Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks $(-\infty;3]$.

Märkide tähendus:

Vahemike ühisosa $\cap$ tähendab väärtusi, mis sobivad mõlemasse hulka. Mõtle sellest kui sõnast "ja". Vahemike ühend $\cup$ tähendab väärtusi, mis sobivad vähemalt ühte hulka. Mõtle sellest kui sõnast "või".

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Kui vahemikel pole ühiseid arve, on ühisosa tühi:

$$[1;3]\cap[5;7]=\varnothing.$$

Vastus: võrratuse lahend on $(-\infty;3]$; ühisosa ja ühend on vastavalt [4;6] ja [1;9].

Tüüpviga

Märgi pööramist unustatakse just siis, kui jagatakse negatiivse kordajaga.

Teine tüüpviga on segi ajada ühend ja ühisosa. Kui ülesanne nõuab korraga mõlema tingimuse täitmist, on vaja ühisosa. Kui piisab vähemalt ühest tingimusest, on vaja ühendit.

Kolmas tüüpviga on otspunkt valesti märkida. $x<4$ annab tühja punkti, $x\le4$ täidetud punkti.

Kui jäid kinni

Korda kõigepealt lineaarvõrrandi lahendamise samme ja arvteljel võrdlemist. Vaata näitest, millal märk pöördub ja kuidas otspunkt vahemikus märgitakse. Alusta harjutustest 1 ja 2, siis kontrolli ühisosa ning ühendit ülesannetes 4 ja 5.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

1. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
2. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
2. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
3. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
4. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
5. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Vastused

1. $2x>12$, seega $x>6$; vahemikuna $(6;\infty)$, sest 6 ise ei kuulu hulka.
2. Jagades negatiivse arvuga -3 pöördub märk: $x\ge-4$; vahemikuna $[-4;\infty)$.
3. $(2;5), sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.
4. $5+3t\le23$, seega $t\le6$. Koos tingimusega $t\ge0$ on võimalik aeg $[0;6]$ tundi.
5. $[3;8]$, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.
6. $[0;5]$, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.
7. $[4;6)$; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.
8. $-2x<-4$, jagamisel -2-ga pöördub märk, seega $x>2$; vahemikuna $(2;\infty)$.
9. Väide ei ole õige. Ühisosa on $\varnothing$, sest arv $2$ kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.