Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Mõiste

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, tegurdada lihtsat ruutkolmliiget, määrata ratsionaalavaldise keelatud väärtusi ning kasutada vahemikke.

Märgiskeemi meetod:

1. vii kõik liikmed ühele poole;
2. tegurda lugeja ja nimetaja, kui see on võimalik;
3. leia nullkohad ning nimetaja keelatud väärtused;
4. jaga arvtelg nende kriitiliste punktidega vahemikeks;
5. määra igal vahemikul avaldise märk;
6. vali võrratusele sobivad vahemikud ja kontrolli otspunkte.

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Näide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdame:

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Lahendame ratsionaalvõrratuse

$$\frac{x-1}{x+2}>0.$$

Kriitilised punktid on $x=-2$ ja $x=1$. Punkt $-2$ on keelatud, punktis 1 on avaldis null. Avaldis on positiivne vahemikes

$$(-\infty;-2)\cup(1;\infty).$$

Vastus: esimese võrratuse lahend on $[-2;3]$, teise lahend $(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$.

Tüüpviga

Tüüpviga on korrutada ratsionaalvõrratust tundmatut märki sisaldava nimetajaga. Kui nimetaja märk pole teada, ei tea sa, kas võrratuse märk peab pöörduma. Märgiskeem väldib seda viga.

Teine tüüpviga on lisada nimetaja nullkoht vastusesse. Keelatud väärtus ei kuulu lahendisse ka mitterange võrratuse korral.

Kolmas tüüpviga on jätta ruutvõrratuse nullkohad vastusest välja, kuigi märk on $le$ või $ge$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $x^2-9<0$.
2. Lahenda $x^2-4x\ge0$.
3. Milline väärtus on avaldises $\frac{x+1}{x-5}$ keelatud?

Rakendus

1. Lahenda $\frac{x+1}{x-2}\le0$.
2. Palli kõrgus on $h(t)=-t^2+6t$. Millal on $h(t)\ge5$?
3. Lahenda $(x-2)^2>0$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei tohi võrratust $\frac{x-1}{x+2}>0$ ilma nimetaja märki uurimata arvuga $x+2$ korrutada?
2. Võrdle võrratuste $x^2-1<0$ ja $x^2-1>0$ lahendeid graafiku abil.
3. Lahenda $\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge0$ märgiskeemi abil.

Vastused

1. $(-3;3)$, sest parabool on nullkohtade vahel negatiivne.
2. $(-\infty;0]\cup[4;\infty)$, sest tegurite korrutis on väljaspool nullkohti mittenegatiivne.
3. $x\ne5$.
4. $[-1;2)$; lugeja null $-1$ kuulub lahendisse, nimetaja null 2 ei kuulu.
5. $t\in[1;5]$, sest $-t^2+6t\ge5$ taandub $(t-1)(t-5)\le0$.
6. $(-\infty;2)\cup(2;\infty)$; ruut on positiivne kõikjal peale punkti 2.
7. Nimetaja $x+2$ võib olla positiivne või negatiivne; negatiivsega korrutades peaks märk pöörduma.
8. Esimese lahend on $(-1;1)$, teise $(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$; graafik on vastavalt teljest all- või ülalpool.
9. $[-1;2)\cup[3;\infty)$; punkt 2 on keelatud, nullkohad -1 ja 3 kuuluvad lahendisse.

Seosed

Märgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.