Murd- ja juurvõrrandid

Mõiste

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Eeldus: oskad taandada ratsionaalavaldisi, lahendada lineaar- ja ruutvõrrandeid ning kontrollida juuravaldise määramispiirkonda.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Juurvõrrandi tööjärjekord:

1. eralda juuravaldis;
2. kirjuta vajalikud märgi- ja määramistingimused;
3. astenda võrrandi mõlemad pooled;
4. lahenda ja kontrolli lahendeid algvõrrandis.

Astendamine ei ole alati samaväärne teisendus: ruutu tõstmisel võivad tekkida võõrlahendid. Seetõttu on algvõrrandi kontroll kohustuslik.

Näide

Lahendame murdvõrrandi

$$\frac{x+1}{x-2}=2.$$

Tingimus on $x\ne2$. Korrutame võrrandi arvuga $x-2$:

$$x+1=2x-4,$$

$$x=5.$$

Kontroll: $5\ne2$ ja $\frac{5+1}{5-2}=2$.

Lahendame juurvõrrandi

$$\sqrt{x+1}=x-1.$$

Parema poole tõttu peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame

$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$

$$x(x-3)=0.$$

Kandidaadid on $0$ ja $3$, kuid tingimusele ning algvõrrandile vastab ainult $x=3$.

Vastus: murdvõrrandi lahend on $5$ ja juurvõrrandi lahend $3$.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetaja nullkoht alles pärast lahendamist üles otsida. Keelatud väärtus kirjuta enne nimetajate eemaldamist.

Teine tüüpviga on nimetajaga korrutamisel mõni liige vahele jätta. Korrutaja rakendub võrrandi mõlemale poolele ja igale liikmele.

Kolmas tüüpviga on lugeda ruutu tõstmisel saadud kõik juured vastuseks. Kontroll algvõrrandis eemaldab võõrlahendid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\frac{x}{x-1}=2$.
2. Lahenda $sqrt{x}=5$.
3. Nimeta võrrandi $\frac2{x+3}=1$ keelatud väärtus.

Rakendus

1. Lahenda $\frac3{x} + 1=4$.
2. Lahenda $sqrt{x+4}=x-2$.
3. Ristküliku pikkus on $sqrt{x+9}$ meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia $x$.

Mõtlemisülesanne

1. Miks ei sobi $x=-1$ võrrandi $sqrt{x+1}=x+1$ ainsaks kontrollimata vastuseks?
2. Lahenda $\frac{x+2}{x}=3$ ning selgita, miks $x=0$ ei saa olla lahend.
3. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.

Vastused

1. $x=2$; tingimus $x\ne1$ on täidetud.
2. $x=25$, sest peajuur võrdub 5-ga.
3. $x\ne-3$, sest nimetaja ei tohi olla null.
4. $x=1$; tingimus $x\ne0$ ja algvõrrand on täidetud.
5. $x=5$. Ruutu tõstmisel saadakse kandidaadid $0$ ja $5$, kuid algvõrrandisse sobib ainult 5.
6. $x=7$, sest $x+9=16$ ning $7+9\ge0$.
7. Tegelikult sobib $x=-1$ algvõrrandisse, kuid ühe kandidaadi nägemine ei asenda lahenduskäiku; võrrandi ruutu tõstmine annab ka $x=0$, mis samuti sobib. Lahendid on -1 ja 0.
8. $x=1$; $x=0$ muudaks algvõrrandi nimetaja nulliks.
9. Mõlema poole ruutu tõstmine: vastandmärgiga pooled annavad pärast ruutu sama tulemuse.

Seosed

Murd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.