Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtted:

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe muutujaga lineaarvõrrand on sirge; süsteemi lahend on sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Vastus: näidete lahendid on (2;3), (3;7) ja (4,5;3).

Tüüpviga

Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.

Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.

Kolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.

Neljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.

Viies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Mida tähendab graafiliselt lahend (3; 5)?
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

1. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
2. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
3. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

1. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
2. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
3. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
4. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
5. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. $x=5$, $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. See on kahe sirge lõikepunkt ja arvupaar, mis sobib mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.