Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on (0;b).

• Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
• Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
• Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti (0;b) $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti (x_1;y_1) ja (x_2;y_2) järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid (-1; -3), (0; -1), (1; 1) ja (2; 3).

Tabelis on samad paarid; graafikul on need punktid sirgel.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis (0;-1). Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Lineaarse mudeli ühesammu muutus on igal pool sama.

Punktide (1;2) ja (4;8) tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis (1;2) valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte (-2;5) ja (4;-1). Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti (4;-1):

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Tüüpviga

Kui $b\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.

Teine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt (0;b).

Kolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.

Näiteks punktide (1;2) ja (4;8) korral:

$$\frac{8-2}{4-1}=2.$$

Sama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:

$$\frac{2-8}{1-4}=2.$$

Aga segamini järjekord annaks vale märgi.

Neljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
4. Leia tõus punktide (0;4) ja (2;10) järgi.

Rakendus

1. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
2. Leia tõus punktide (2;3) ja (6;11) järgi.
3. Leia tõus punktide (-1;4) ja (3;-4) järgi.
4. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

1. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti (2;7). Leia $b$.
2. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (0;-2) ja (4;6).
3. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte (1;5) ja (3;9).
4. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
5. Tabelis on $x=1,2,3,4$ ja $y=4,7,10,13$. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
6. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
4. $k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
5. (0;-7), sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
6. $k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
7. $k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
9. $7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt (2;7) valemis õige väärtuse.
10. Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on -2, seega $y=2x-2$.
11. $k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti (1;5): $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.