Võrdeline seos

Mõiste

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Eeldus: oskad arvutada suhet, kasutada funktsiooni valemit ning märkida tabeli punktid koordinaattasandile.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

Võrdelise seose tunnused:

suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
kui $x=0$, siis $y=0$;
graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Võrdelise seose tabel, valem ja graafik — Võrdelise seose joonisel annavad valem $y=2x$, püsiv suhe $y/x=2$ ja alguspunkti läbiv sirge sama matemaatilise seose.

Kui jäid kinni

Kontrolli tabelis iga rea jagatist $y:x$. Kui saad alati sama arvu ja nullile vastab null, on seos võrdeline.

Õpetaja kontrollmõte

Seo võrdetegur ühikuhinna, kiiruse või retsepti kogusega. Palu õpilasel alati öelda ka $k$ ühik; nii ei jää tegur tähenduseta arvuks.

Eksiarvamus: iga sirge graafik kirjeldab võrdelist seost. Kontrolli, kas graafik läbib alguspunkti.

Miinimum: õpilane leiab valemi järgi väljundi.
Tavarada: õpilane leiab tabelist võrdeteguri ja koostab valemi.
Lisaväljakutse: õpilane eristab võrdelist seost muust lineaarsest seosest.

Näide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Vastus: 3 kg õunu maksab 6 eurot ja võrdetegur on 2 €/kg.

Tüüpviga

Tüüpviga on nimetada iga sirgjoonelist seost võrdeliseks. Seos $y=2x+3$ ei ole võrdeline, sest $x=0$ korral on $y=3$ ning graafik ei läbi alguspunkti.

Teine viga on arvutada võrdetegur tagurpidi. Valemis $y=kx$ on $k=y:x$, mitte $x:y$.

Kolmas viga on unustada võrdeteguri ühik. Kiiruse võrdetegur võib olla km/h, ühikuhinna oma €/kg.

Harjutused

Lihtne kontroll

Kui $y=4x$, leia $y$, kui $x=3$.
Leia võrdetegur, kui $x=5$ ja $y=15$.
Kas seos $y=7x$ läbib alguspunkti?

Rakendus

Tabelis on paarid $(2;6)$, $(4;12)$ ja $(7;21)$. Leia võrdetegur ja valem.
Üks vihik maksab 1,50 eurot. Kirjuta $n$ vihiku hinna valem.
Jalgrattur liigub ühtlase kiirusega 18 km/h. Kirjuta teepikkus $s$ aja $t$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

Kas tabeli paarid $(0;2)$, $(1;5)$ ja $(2;8)$ kirjeldavad võrdelist seost? Põhjenda.
Võrdelise seose graafik läbib punkti $(4;-6)$. Leia $k$ ja kirjuta valem.
Võrdle seoseid $y=3x$ ja $y=3x+5$: mis on sama ning mis erinev?

Vastused

$y=4\cdot3=12$.
$k=15:5=3$.
Jah, sest $x=0$ korral on $y=0$.
$k=3$ ja $y=3x$, sest igas reas on $y:x=3$.
$H(n)=1{,}5n$, kus võrdetegur 1,5 €/vihik on ühe vihiku hind.
$s(t)=18t$, kus võrdetegur 18 km/h on kiirus.
Ei, sest nullile ei vasta null ja suhted $y:x$ ei ole püsivad.
$k=-6:4=-1{,}5$, seega $y=-1{,}5x$.
Mõlemal on sama tõus 3. Esimene läbib alguspunkti ja on võrdeline; teise algväärtus on 5 ning see ei ole võrdeline.

Seosed

Lineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.