Pöördvõrdeline seos
Mõiste
Pöördvõrdeline seos on kujul
$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$
Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.
Kui $x$ kasvab, siis $y$ väheneb nii, et korrutis $xy$ jääb samaks.
Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.
Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.
Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:
| Mudel | Valem | Mis on püsiv? | Graafik |
|---|---|---|---|
| võrdeline | $y=kx$ | suhe $y:x=k$ | alguspunkti läbiv sirge |
| lineaarne | $y=kx+b$ | sama $x$-sammu korral sama $y$ muutus | sirge |
| pöördvõrdeline | $y=\frac{k}{x}$ | korrutis $xy=k$ | hüperbool |
Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.
Näide
Kui töö teeb valmis 12 tunniga 1 inimene, siis sama töö jaoks vajalike tundide arv ligikaudses mudelis on
$$y=\frac{12}{x},$$
kus $x$ on inimeste arv.
Kui töötegijaid on 3, siis
$$y=\frac{12}{3}=4.$$
Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.
Sama mõte töötab ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis
$$t=\frac{120}{v}.$$
Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.
Mudeli piirid
Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.
| Mudel | Millal sobib? | Millal enam hästi ei sobi? |
|---|---|---|
| rohkem töötegijaid, vähem aega | kõik saavad korraga ja segamata töötada | liiga palju inimesi jääb üksteisele ette |
| suurem kiirus, lühem aeg | kiirus on kogu teekonnal ligikaudu püsiv | liiklus, peatused ja kiiruspiirangud muudavad mudelit |
| suurem ühikuhind, väiksem kogus sama raha eest | hind on ühiku kohta sama | soodustused, miinimumkogused või pakendid piiravad valikut |
Tüüpviga
Pöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.
Teine tüüpviga on lubada $x=0$. Avaldis $\frac{k}{x}$ ei ole defineeritud, kui $x=0$.
Kolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui $v$ on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.
Neljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
- Miks $x=0$ pole lubatud?
- Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
- Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?
Rakendus
- Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
- Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
- Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.
Mõtlemisülesanne
- Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
- Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
- Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
- Tabelis on paarid
(2;12),(3;8),(4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.
Vastused
- $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
- Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
- Näiteks sama töö: rohkem tegijaid tähendab vähem aega, kui töö kogus püsib sama.
- Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
- $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
- Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
- $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
- Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
- Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
- $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
- Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.
Seosed
Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.