Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Nimetaja ei tohi olla null.

Eeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.

Määramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.

Näiteks avaldises

$$\frac{x+1}{x-3}$$

on keelatud väärtus $x=3$, sest siis nimetaja oleks null.

Reeglid

1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.
2. Tegurda lugeja ja nimetaja.
3. Taanda ainult ühiseid tegureid.
4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.

Keelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.

Lihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.

Kui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.

Hea tööjärjekord:

Näide

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Määramispiirkond enne taandamist:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

Kõigepealt nimetaja:

$$x^2-2x=x(x-2).$$

Seega $x\ne0$ ja $x\ne2$. Nüüd tegurdame kogu avaldise:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$

Taandame ühise teguri $x-2$:

$$\frac{x+2}{x},$$

aga tingimused jäävad alles:

$$x\ne0,\qquad x\ne2.$$

Kuigi lihtsustatud avaldises $\frac{x+2}{x}$ ei paista enam tegurit $x-2$, ei tohi $x=2$ algses avaldises lubatud olla.

Ühise nimetajaga liitmine:

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}.$$

Ühine nimetaja on $x(x+1)$, kus $x\ne0$ ja $x\ne-1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.$$

$$=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$

Vastus: lihtsustatud avaldised on $x+3$, $\frac{x+2}{x}$ ja $\frac{5x+2}{x(x+1)}$; keelatud väärtused jäävad algsete nimetajate järgi.

Tüüpviga

Teguri taandamisel ei tohi unustada keelatud väärtust. Algne nimetaja määrab, millal avaldis pole defineeritud.

Teine tüüpviga on taandada liikmeid, mis ei ole tegurid:

$$\frac{x+2}{x}\ne2.$$

Taandada võib korrutustegureid, mitte summa liikmeid.

Kolmas tüüpviga on määramispiirkond leida pärast taandamist. Näiteks

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$

tingimusel $x\ne1$. Kui vaadata ainult lõppu $x+1$, jääb keelatud väärtus märkamatuks.

Neljas tüüpviga on ühise nimetaja leidmisel unustada, et ka uus ühine nimetaja annab tingimused algsete nimetajate järgi. Avaldises

$$\frac1{x-2}+\frac1{x+3}$$

on tingimused $x\ne2$ ja $x\ne-3$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise $x$ korral pole $\frac{5}{x+2}$ defineeritud?
2. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x-2}$.
3. Miks ei saa avaldises $\frac{x+2}{x}$ taandada lugejast ainult $x$-liiget ära?
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Rakendus

1. Liida $\frac1x+\frac2{x+3}$.
2. Lihtsusta $\frac{x^2-16}{x-4}$ ja kirjuta tingimus.
3. Lihtsusta $\frac{x^2-3x}{x}$ ja kirjuta tingimus.

Mõtlemisülesanne

1. Leia määramispiirkond avaldisele $\frac{x+5}{x^2+x-6}$.
2. Liida $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ja kirjuta tingimused.
3. Selgita, miks $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$ ei ole defineeritud väärtusel $x=2$, kuigi pärast taandamist jääb $x+4$.
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$.

Vastused

1. Keelatud väärtus on $x=-2$, seega määramispiirkonnas peab $x\ne-2$.
2. $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne2$.
3. $x+2$ ei ole korrutis, kus $x$ oleks eraldi tegur.
4. Kuna $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siis $x\ne3$ ja $x\ne-3$.
5. $\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\frac{3x+3}{x(x+3)}$, kus $x\ne0,-3$; tingimus tuleb algsetest nimetajatest $x$ ja $x+3$.
6. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne4$.
7. $\frac{x(x-3)}{x}=x-3$, kus $x\ne0$; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.
8. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, seega $x\ne-3$ ja $x\ne2$.
9. $\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, kus $x\ne1,-1$; need on algsete nimetajate nullkohad.
10. Algse avaldise nimetaja oleks siis $x-2=0$. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.
11. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, seega $x\ne2$ ja $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.