Ratsionaalavaldiste tehted Matemaatika kiirreferents

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.

Eeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.

Põhireeglid:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Jagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse algavaldise järgi enne taandamist.

Hea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja \frac{x+3}{x-3} ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdame ja pöörame jagaja:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{x-3}{x+3} =\frac{x-3}{x+2}.$$

Vastus: $\frac{x-3}{x+2}$, kus $x\ne-3,-2,3$. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.

Tüüpviga

Jagamisel pööratakse teine murd, mitte esimene. Teine tüüpviga on liita lugejad ja nimetajad eraldi: $\frac ab+\frac cd\ne\frac{a+c}{b+d}$.

Kolmas tüüpviga on hakata tegureid taandama üle liitmis- või lahutamismärgi. Enne taandamist peab lugeja ja nimetaja olema korrutiste kujul.

Neljas tüüpviga on unustada jagaja nulliks muutvad väärtused. Need võivad tulla jagaja lugejast, sest nullmurruga jagada ei saa.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
  2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
  3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

  1. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
  2. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
  3. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

  1. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
  2. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
  3. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Vastused

Kontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.

  1. $\frac{2x}{x+1}$, kus $x\ne-1$.
  2. $\frac{x}{5}\cdot\frac{15}{2x}=\frac32$, kus $x\ne0$.
  3. $\frac{x^2}{(x-1)^2}$, kus $x\ne1$.
  4. $\frac{3x-4}{x(x-2)}$, kus $x\ne0,2$.
  5. $\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-4}{x^2-1}$, kus $x\ne-1,1$.
  6. $\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-2}{x}$, kus $x\ne0,-2$.
  7. Tulemuseks on 1, kuid algavaldis nõuab $x\ne-1,1$.
  8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.
  9. $\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}$, kus $x\ne0,-1$.

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.