Ruutfunktsioon

Mõiste

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, lugeda koordinaatteljestikku ja eristada nullkohta $y$-telje lõikepunktist.

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Olulised seosed

• Nullkohad leitakse ruutvõrrandist $ax^2+bx+c=0$.
• Kui $a>0$, avaneb parabool üles.
• Kui $a<0$, avaneb parabool alla.
• Parabooli haripunkt ehk tipp on sümmeetriateljel asuv parabooli kõige madalam või kõige kõrgem punkt.

Haripunkti $x$-koordinaat üldkujus $y=ax^2+bx+c$ on

$$x_h=-\frac{b}{2a}.$$

Haripunkti $y$-koordinaadi saab leida, asendades $x_h$ funktsiooni avaldisse.

Nullkohad on need $x$ väärtused, mille korral $y=0$. Seetõttu tekibki ruutvõrrand

$$ax^2+bx+c=0.$$

Olulised punktid graafikul:

Kontroll: $x$-teljel pane $y=0$; $y$-teljel pane $x=0$.

Kui nullkohti pole, parabool ei lõika $x$-telge. Kui nullkoht on üks, puutub ta telge haripunktis.

Diskriminant $D=b^2-4ac$: $D>0$ annab kaks nullkohta, $D=0$ ühe kahekordse nullkoha ja $D<0$ mitte ühtegi reaalarvulist nullkohta.

Näide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Siin $a=2$ ja $b=-8$, seega

$$x_h=-\frac{-8}{2\cdot2}=2.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=2\cdot2^2-8\cdot2+3=8-16+3=-5.$$

Haripunkt on (2;-5).

Leiame funktsiooni

$$y=x^2-6x+8$$

tähtsad punktid.

$y$-telje lõikepunkt:

$$x=0\quad\Rightarrow\quad y=8,$$

seega punkt (0;8).

Nullkohad:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$(x-2)(x-4)=0,$$

seega $x=2$ ja $x=4$.

Haripunkti $x$-koordinaat:

$$x_h=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1.$$

Vastus: $y$-telje lõikepunkt on (0;8), nullkohad on 2 ja 4 ning haripunkt on (3;-1).

Tüüpviga

Ruutliikme kordaja $a$ määrab avanemissuuna ja laiuse, mitte ainult “kas graafik on üleval või all”.

Teine tüüpviga on ajada segi nullkoht ja $y$-telje lõikepunkt. Nullkohas on $y=0$; $y$-telje lõikepunktis on $x=0$.

Kolmas tüüpviga on arvata, et $c$ on alati nullkoht. Tegelikult on $c$ väärtus kohal $x=0$, seega $y$-telje lõikepunkt.

Neljas tüüpviga on leida ainult $x_h$ ja nimetada seda haripunktiks. Haripunkt on punkt, seega vaja on nii $x_h$ kui $y_h$.

Viies tüüpviga on pidada ruutfunktsiooni kasvu samasuguseks nagu eksponentfunktsioonil. Ruutfunktsioon kasvab astme järgi, eksponentfunktsioon korrutab väärtust püsiva teguriga.

Kui jäid kinni

Korda enne ruutvõrrandi nullkohtade leidmist ja koordinaatteljestiku lugemist. Vaata näitest, kuidas nullkohad ja haripunkt samal graafikul kokku käivad. Alusta harjutustest 1-4; haripunkti ülesannete juurde mine siis, kui nullkohad ja teljelõige on selged.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-9$ nullkohad.
2. Kas funktsiooni $y=-x^2+4$ parabool avaneb üles või alla?
3. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ $y$-telje lõikepunkt.
4. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ nullkohad.

Rakendus

1. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkti $x$-koordinaat.
2. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkt.
3. Leia funktsiooni $y=-2x^2+5$ $y$-telje lõikepunkt ja avanemissuund.

Mõtlemisülesanne

1. Leia funktsiooni $y=x^2+4x+4$ nullkoht või nullkohad.
2. Leia funktsiooni $y=2x^2-4x-6$ $y$-telje lõikepunkt.
3. Mis on parabooli sümmeetriatelg, kui haripunkti $x$-koordinaat on 3?
4. Funktsioonidel $y=x^2$ ja $y=2^x$ on mõlemal kasvavad väärtused positiivsetel $x$-idel. Kumb on ruutfunktsioon ja kumb eksponentfunktsioon?

Vastused

1. $x=-3$ ja $x=3$, sest nullkohas $y=0$.
2. Alla, sest $a=-1<0$.
3. (0;-3), sest $y$-teljel on $x=0$.
4. $x=-3$ ja $x=1$; need on parabooli lõikepunktid $x$-teljega.
5. $x_h=3$, seega sümmeetriatelg on $x=3$.
6. Lahenduskäik: $x_h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Asendades saad $y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1$, seega haripunkt on (3;-1).
7. Lõikepunkt on (0;5), avaneb alla, sest $a=-2<0$.
8. Lahenduskäik: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Nullkoht tekib siis, kui $(x+2)^2=0$, seega üks nullkoht $x=-2$.
9. (0;-6).
10. Sirge $x=3$.
11. $y=x^2$ on ruutfunktsioon, $y=2^x$ on eksponentfunktsioon.

Seosed

Ruutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.