Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

1. vaata $a$ märki;
2. leia nullkohad;
3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
4. märgi punkt (0;c);
5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Tüüpviga

Tüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja $a$ muudab graafiku laiust.

Kolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult $x_h$. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

1. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
2. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
3. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

1. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
2. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
3. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

1. Alla, sest $a<0$.
2. $x=1$ ja $x=3$.
3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
7. $t_h=2$ s ja `$h(2)=21$ m.
8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.