Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2`, siis graafikul `$y=x^2+3 vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Tüüpviga

Avaldis $f(x-c)$ nihutab paremale, mitte vasakule. See tundub esialgu vastupidine, sest muutus toimub sisendi sees.

Teine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev +2 nihutab üles:

$$f(x)+2.$$

Sisendi sees olev +2 nihutab vasakule:

$$f(x+2).$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et $2f(x)$ ja $f(2x)$ teevad sama asja. Esimene muudab $y$ väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.

Neljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks $(x-3)^2+5 nihkub nii paremale kui ka üles.

Viies tüüpviga on vaadata ainult valemit ja mitte kontrollida üht punkti. Punkti liikumine näitab kiiresti, kas nihe läks õiges suunas.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

1. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
2. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
3. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

1. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
2. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
3. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
4. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
5. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks, $y$ korrutub 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.