Trigonomeetrilised funktsioonid
Mõiste
Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.
Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.
Kontrollsamm
Kui märk või väärtus läheb segi, märgi nurk ühikringile. Loe koosinus $x$-koordinaadist ja siinus $y$-koordinaadist ning kontrolli veerandit.
Täisnurkses kolmnurgas oli
$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$
Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:
$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$
See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.
Põhiseosed
$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$
Tangens:
$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$
Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:
$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$
Radiaanides on täisring $2\pi$, seega
$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$
Tangensi periood on lühem:
$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$
ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.
Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.
Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.
Märgid veerandites
Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.
| veerand | nurk | $\cos x$ ehk $x$-koordinaat | $\sin x$ ehk $y$-koordinaat |
|---|---|---|---|
| I | $0^\circ$ kuni $90^\circ$ | positiivne | positiivne |
| II | $90^\circ$ kuni $180^\circ$ | negatiivne | positiivne |
| III | $180^\circ$ kuni $270^\circ$ | negatiivne | negatiivne |
| IV | $270^\circ$ kuni $360^\circ$ | positiivne | negatiivne |
Väärtused, mida tasub tunda
| nurk | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac1{\sqrt3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\sqrt3$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | pole defineeritud |
Näide
Kui $\alpha=30^\circ$, siis
$$\sin30^\circ=\frac12.$$
Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.
Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:
$$\sin150^\circ=\frac12,$$
$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Kui $x=45^\circ$, siis
$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$
Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.
Tüüpviga
Kraadid ja radiaanid on eri mõõtühikud. Arvutis või kalkulaatoris tuleb kontrollida, kumb režiim on kasutusel.
Teine tüüpviga on unustada märk. Näiteks $\sin30^\circ$ ja $\sin150^\circ$ on mõlemad positiivsed, aga $\cos30^\circ$ ja $\cos150^\circ$ on eri märgiga.
Kolmas tüüpviga on arvata, et $\tan90^\circ$ on väga suur arv. Tegelikult pole see defineeritud, sest
$$\tan90^\circ=\frac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\frac{1}{0},$$
ja nulliga jagada ei saa.
Neljas tüüpviga on unustada, et perioodilisus annab sama väärtuse mitme nurga korral. Näiteks $\sin30^\circ=\sin150^\circ$, aga nurgad on erinevad.
Õpetaja diagnostika
Küsi enne arvutust, kas sobib kolmnurk, ühikring või graafik. Nõua veerandi järgi märgi põhjendust ning mudelis amplituudi, keskjoone või perioodi tõlgendust.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia $\cos0^\circ$.
- Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
- Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?
Rakendus
- Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
- Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
- Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.
Mõtlemisülesanne
- Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
- Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
- Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.
Vastused
- $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt
(1;0). - $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
- Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
- $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
- Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
- $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
- Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
- $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
- Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku
[-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.
Seosed
Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.