Trigonomeetrilised valemid

Mõiste

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Eeldus: oskad ühikringilt lugeda siinuse ja koosinuse märki ning tead radiaani ja kraadi seost.

Negatiivse nurga valemid on

$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x,\qquad \tan(-x)=-\tan x.$$

Summa ja vahe valemid:

$$\sin(\alpha\pm\beta) =\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha\pm\beta) =\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.$$

Kui $\alpha=\beta$, saadakse kahekordse nurga valemid:

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1 =1-2\sin^2\alpha.$$

Taandamisvalemite mõte pole eraldi tabeli päheõppimine. Leia ühikringilt võrdlusnurk, otsusta veerandi järgi märk ning vaata, kas koordinaadi roll jääb samaks või vahetub.

Võrdlusnurk ühikringil — Ühikring aitab määrata taandatud nurga siinuse ja koosinuse märgi ning täpse väärtuse.

Näide

Leiame $\sin75^\circ$:

$$\sin(45^\circ+30^\circ) =\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ.$$

Seega

$$\sin75^\circ =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Kui $\sin\alpha=\frac35$ ja $\alpha$ on teravnurk, siis $\cos\alpha=\frac45$. Järelikult

$$\sin2\alpha =2\cdot\frac35\cdot\frac45 =\frac{24}{25}.$$

Tüüpviga

Koosinuse summa valemis on keskmine märk vastupidine:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Teine tüüpviga on kirjutada $\sin2x=2\sin x$. Tegelikult on $\sin2x=2\sin x\cos x$.

Kolmas tüüpviga on võtta ruutjuurest automaatselt positiivne koosinus. Seosest $\cos^2x=1-\sin^2x$ saadakse märgi valik veerandi järgi.

Õpetaja diagnostika

Palu enne arvutust nimetada valemi liik ning pärast tulemust hinnata: kas saadud märk ja suurus sobivad nurga veerandiga?

Harjutused

Lihtne kontroll

Lihtsusta $\sin(-x)$.
Kirjuta lahti $\sin(\alpha+\beta)$.
Kirjuta $\cos2x$ ainult $\cos x$ kaudu.

Rakendus

Ühikringi punkt vastab nurgale $75^\circ$. Leia punkti $x$-koordinaat täpselt.
Kui $\sin\alpha=\frac5{13}$ ja $\alpha$ on teravnurk, leia $\sin2\alpha$.
Lihtsusta $\sin^2x+\cos^2x+\cos2x$ ainult koosinuse kaudu.

Mõtlemisülesanne

Põhjenda valemi abil, miks $\sin(90^\circ-x)=\cos x$.
Leia täpselt $\sin15^\circ$.
Lahenda $\cos2x=0$ vahemikus $0\le x<\pi$ ning kontrolli mõlemat lahendit algvõrrandis.

Vastused

$-\sin x$, sest siinus on paaritu funktsioon.
$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
$\cos2x=2\cos^2x-1$.
$\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$; summa valemis lahutatakse siinuste korrutis.
$\cos\alpha=\frac{12}{13}$ ja $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
$1+\cos2x=2\cos^2x$.
Kasuta vahe valemit ja väärtusi $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$.
$\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, kasutades vahet $45^\circ-30^\circ$.
$2x=\frac\pi2+k\pi$, seega vahemikus sobivad $x=\frac\pi4$ ja $x=\frac{3\pi}{4}$. Mõlemal juhul on $2x$ paaritu arvu $\frac\pi2$ kordne ning koosinus on 0.

Seosed

Valemid annavad tööriistad trigonomeetriliste põhivõrrandite teisendamiseks ning aitavad üldise kolmnurga ja perioodiliste mudelite seoseid põhjendada.