Radiaanid ja perioodilisus
Mõiste
Radiaan on nurga mõõt, mis põhineb kaare pikkusel. Täispööre on
$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$
Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.
Seega
$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$
Ühikringil tähendab $1$ radiaan ligikaudu sellist nurka, millele vastava kaare pikkus on sama suur kui ringi raadius.
Üldiselt on radiaanides nurk kaare pikkuse ja raadiuse suhe.
See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.
Enne arvutamist kontrolli, kas nurk on kraadides või radiaanides; sama arv võib neis kahes mõõdus tähendada täiesti erinevat pööret.
Kraadide ja radiaanide teisendamise põhiseos on
$$180^\circ=\pi\text{ rad}.$$
Kui nurk on radiaanides, siis kaare pikkus on
$$s=r\alpha,$$
kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.
See on radiaani eelis: nurk ja kaare pikkus seotakse otse sama ringi raadiusega.
Seega:
$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$
$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$
Teisendustabel
| kraadid | radiaanid |
|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ |
| $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ |
Perioodilisus
Siinus ja koosinus korduvad perioodiga $2\pi$:
$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$
$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$
See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.
Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.
Tangens kordub perioodiga $\pi$:
$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$
Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:
$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$
Näide
$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$
Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:
$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$
Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:
$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$
Perioodilisuse tõttu
$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$
näiteks
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$
Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.
Tüüpviga
Kui kalkulaator on radiaanides, siis sin(30) ei tähenda $\sin 30^\circ$.
Radiaanides on 30 väga suur nurk, mitte $30^\circ$. Kui ülesandes on kraadid, kirjuta kraadimärk või teisenda nurk enne radiaanideks.
Teine tüüpviga on segada perioodi ja amplituudi. Periood ütleb, kui pika $x$-sammu järel graafik kordub; amplituud ütleb, kui kõrgele või madalale graafik läheb.
Kolmas tüüpviga on kasutada valemit $s=r\alpha$ kraadidega. See valem töötab otse ainult siis, kui $\alpha$ on radiaanides.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
- Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
- Mis on siinusfunktsiooni periood?
Rakendus
- Ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
- Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
- Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?
Mõtlemisülesanne
- Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
- Kas $\cos(60^\circ)$ ja $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ tähendavad sama nurka?
- Kaks ratast raadiustega 5 ja 10 pöörduvad mõlemad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.
Vastused
$180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.- $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
- $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
- $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
- $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
- $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
- Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
- Jah, sest $60^\circ=\frac{\pi}{3}$; see on sama nurk eri ühikus.
- Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.
Seosed
Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid töötavad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.