Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Eeldus: oskad kasutada ühikringi, radiaane, trigonomeetrilisi valemeid ning lahendada lihtsat algebralist võrrandit.

Põhikujud:

$$\sin x=m,\qquad \cos x=m,\qquad \tan x=m.$$

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Näiteks

$$\sin x=\frac12$$

annab

$$x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{või}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Tangensi periood on $\pi$:

$$\tan x=m \quad\Longrightarrow\quad x=\arctan m+k\pi.$$

Kui ülesanne nõuab lahendeid kindlas vahemikus, kirjutatakse üldlahendist välja ainult sinna jäävad väärtused.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendid — Horisontaaljoon lõikab siinusgraafikut ühe perioodi jooksul tavaliselt kahes punktis ning lahendid korduvad perioodi järel.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

$$2\sin x-1=0.$$

Esmalt eraldame siinuse:

$$\sin x=\frac12.$$

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

$$x=\frac\pi6 \quad\text{või}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Võrrand

$$\cos2x=0$$

annab $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega

$$x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}.$$

Tüüpviga

Üks kalkulaatori vastus ei ole tavaliselt kõik lahendid. Näiteks $\arcsin\frac12=\frac\pi6$, kuid samas täispöördes sobib ka $\frac{5\pi}{6}$.

Teine tüüpviga on lisada siinusele ja koosinusele periood $\pi$. Nende periood on $2\pi$; ainult tangensi periood on $\pi$.

Kolmas tüüpviga on unustada sisemine kordaja. Võrrandis $\sin2x=0$ lahendatakse esmalt $2x=k\pi$ ja alles siis jagatakse kahega.

Kontrollsamm

Joonista väike ühikring, märgi sobivad veerandid ning kontrolli, et kõik vastused jäävad nõutud vahemikku.

Harjutused

Lihtne kontroll

Lahenda $\sin x=0$.
Lahenda $\tan x=1$.
Kas võrrandil $\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?

Rakendus

Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\le x<2\pi$.
Lahenda $3\sin x+3=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.
Lahenda $\sin2x=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Mõtlemisülesanne

Lahenda $2\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\le x<2\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.
Miks annab võrrand $\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\sin x=1$ ainult ühe?
Lahenda võrratus $\sin x>0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Vastused

$x=k\pi$, sest siinus on null iga poolpöörde järel.
$x=\frac\pi4+k\pi$, sest tangensi periood on $\pi$.
Ei, sest koosinuse väärtused jäävad vahemikku $[-1;1]$.
$x=\frac{3\pi}{4}$ või $x=\frac{5\pi}{4}$; koosinus on negatiivne II ja III veerandis.
$\sin x=-1$, seega $x=\frac{3\pi}{2}$.
$x=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$; sisemine nurk $2x$ peab olema $k\pi$.
$\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, seega $x=\frac\pi4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$. Iga väärtuse korral on $\cos^2x=\frac12$ ja algvõrrandi vasak pool on 0.
Horisontaaljoon $y=0{,}3$ lõikab siinusgraafikut tõusvas ja langevas osas; maksimumtaset $y=1$ puudutab graafik ühe korra.
$0

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.