Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis näitab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust. Arvutusreeglid aitavad tuletist leida ilma piirväärtuse definitsiooni iga kord uuesti kasutamata.

Eeldus: mõistad tuletist kui muutumiskiirust ning oskad lihtsustada astmete, sulgude ja murdavaldistega avaldisi.

Põhituletised

Konstant:

$$c'=0.$$

Astmefunktsioon:

$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$

Eriti:

$$(x)'=1,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (x^3)'=3x^2.$$

Summa ja kordaja

Kui funktsioonid on liidetud, tuletame liikmed eraldi:

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).$$

Kui funktsioon on korrutatud arvuga, jääb arv ette:

$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x).$$

Näiteks

$$(3x^2-5x+7)'=6x-5.$$

Kontrollmõte: tuletis võetakse iga liikme kohta eraldi. Konstant $7$ kaob, sest konstant ei muutu.

Korrutis, jagatis ja ahelreegel

Enne reegli valikut vaata avaldise välist kuju: kas peal on summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Korrutise reegel:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Näiteks kui

$$y=x^2(x+1),$$

siis

$$y'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Jagatise reegel:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

Näiteks

$$y=\frac{x^2+1}{x},$$

siis

$$y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Ahelreegel aitab siis, kui üks funktsioon on teise sees:

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Näiteks

$$(2x+1)^3{}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2.$$

Kontrollmõte: kui avaldises on “sulg astmes”, “juur sulust” või trigonomeetriline funktsioon mingist avaldisest, siis küsi endalt, kas seal on sisemine funktsioon.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=x^3-4x^2+2x-9$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa:

$$f'(x)=3x^2-8x+2.$$

Leia funktsiooni

$$g(x)=(x^2+3x)^4$$

tuletis.

Välimine funktsioon on neljas aste, sisemine funktsioon on $x^2+3x$. Ahelreegli järgi

$$g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3).$$

Vastus: $f'(x)=3x^2-8x+2$ ja $g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3)$.

Tüüpviga

Avaldist $(x^2+1)^3$ ei tohi tuletada sama reegliga nagu $x^3$. Sulgudes olev sisemine funktsioon vajab ahelreeglit.

Teine tüüpviga on korrutise tuletamisel tuletada ainult üht tegurit:

$$(x^2\sin x)'\ne 2x\cos x.$$

Õige mõte on

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Kolmas tüüpviga on jagatise reeglis liikmete järjekord vahetada. Valemis on lugejas

$$f'g-fg',$$

mitte $fg'-f'g$.

Neljas tüüpviga on tuletis leida, aga mitte küsida, mida see tähendab. Rakendustes tuleb sageli uurida tuletise märki või väärtust.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Tuletis on graafikul puutuja tõus, arvuliselt hetkeline muutus ja algebraliselt funktsioon $f'(x)$.

Kui jäid kinni

Korda astmete lihtsustamist ja tuletise põhitähendust: tuletis näitab muutumiskiirust. Vaata näitest, kuidas liikmed tuletatakse eraldi ja millal ahelreegel lisab sisemise tuletise. Alusta harjutustest 1-3; korrutise ja jagatise reeglid jäta järgmiseks sammuks.

Harjutused

Kitsas fookus: vali õige tuletamisreegel ja arvuta puhtalt. Lai fookus: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'.
2. Leia $(x^4+2x^2)'.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

1. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
2. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
3. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

1. Leia $((x^2+1)^5)'.
2. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
3. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Vastused

1. $10x-3$, sest astmereegel annab $(5x^2)'=10x, (-3x)'=-3 ja konstant kaob.
2. $4x^3+4x$, sest summa tuletatakse liikmete kaupa.
3. $6(3x-2)$, sest ahelreeglis väline tuletis on $2(3x-2)$ ja sisemine tuletis 3.
4. Ahelreeglit on vaja siis, kui funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks sulg astmes.
5. $s'(t)=3t^2+10t$, seega $s'(2)=32$ m/s. Tuletis annab asukoha hetkekiiruse.
6. $C'(t)=\frac{2t(t+1)-t^2}{(t+1)^2}=\frac{t^2+2t}{(t+1)^2}$, seega $C'(1)=\frac34$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Lahenduskäik: ahelreegel annab välise tuletise $5(x^2+1)^4$ ja sisemise tuletise $2x$, seega $10x(x^2+1)^4$.
8. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis 2. Õige vastus on $4\cdot3(2x-1)^2\cdot2=24(2x-1)^2$.
9. Kandidaadid on $x=-2$ ja $x=2$. Tuletis muutub kohal -2 plussist miinuseks, seega seal on maksimum; kohal 2 miinusest plussiks, seega seal on miinimum.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad tööriista, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.